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(共31张PPT)
第四章 平行四边形
4.5三角形的中位线
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理。
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题。
02
新知导入
思考：下图中线段的名称分别是什么？
A
B
C
D
E
F
AD:_____________
BE:_____________
CF:_____________
02
新知导入
思考，怎样测量池塘的宽度
A
B
C
D
E
若D，E分别是AB，AC的中点，则只需测量出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道为什么吗？
03
新知探究
剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片。
问题1：如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？
A
B
C
D
E
中点
03
新知讲解
问题2：要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？
03
新知讲解
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
三角形有 三条中位线
因为 D、 E分别为AB、 AC的中点
所以 DE为 △ ABC的中位线
三角形的中位线和三角形的中线有什么区别
同理DF、 EF也为 △ ABC的中位线
E
D
F
A
C
B
AF是 △ ABC的边BC上的中线
三角形中位线的定义
03
新知讲解
在△ABC中，中位线DE和边BC有什么关系？
A
B
C
D
E
观察并猜想：
03
新知讲解
猜想：
A
B
C
D
E
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
已知:如图,DE是△ABC的中位线。
求证:DE BC。
03
新知讲解
平行
角
平行四边形
或
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
分析1：
思考：如何证明你的猜想？
A
B
C
D
E
F
03
新知讲解
分析2：
D
E
互相平分
构造
平行四边形
倍长DE
思考：如何证明你的猜想？
03
新知讲解
证明：如图,以点E为旋转中心,把△ADE绕点E,按顺时针方向旋转180°, 得△CFE,则D,E,F 同在一直线上,DE= EF,且△ADE≌△CFE。
∴∠ADE= ∠F,AD=CF,∴AB// CF.
又∵BD=AD=CF,
已知:如图,DE是△ABC的中位线。
求证:DE BC。
A
C
D
E
F
B
03
新知讲解
∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形),
∴DF BC(平行四边形的一组对边平行且相等)
∴DE BC。
你能用不同的方法加以证明吗？
思考
A
C
D
E
F
B
03
新知讲解
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
求证:DE BC.
证明：延长DE至F，使EF=ED
∵ DE是△ABC的中位线
∴点E是AC的中点即AE=CE
又∵∠AED=∠CEF（对顶角相等）
∴△ADE≌△CFE（SAS）
∴∠ADE= ∠F,AD=CF,
∴AB// CF。
A
B
C
E
D
F
03
新知讲解
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形),
∴DF BC(平行四边形的一组对边平行且相等)
∴DE BC。
A
B
C
E
D
F
03
新知讲解
提炼概念
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
用途
三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
几何语言：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE BC。
新课探究
例1
已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB, BC,CD,DA的中点。
求证:四边形EFGH是平行四边形。
新课探究
例1
已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB, BC,CD,DA的中点。
求证:四边形EFGH是平行四边形。
证明：如图,连结AC。
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF= AC (三角形的中位线等于第三边的一半)。
同理,HG= AC
∴EF = HG。
同理可得EH= FG。
所以四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为(　　)
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°, BC=6,AC=8,D、E、F分别为AB、AC、AD的中点,连结CD、EF,则EF的长度为　　　。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.如图，△ABC中，AB＝8，AC＝12，AM平分∠BAC，BM⊥AM于点M，N是BC的中点．求MN的长。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：如答图，延长BM交AC于D.
∵AM平分∠BAC，AM⊥BM，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD＝AB，BM＝MD。
又∵N为BC的中点，
∴MN＝ CD。
又∵CD＝AC－AD＝AC－AB＝12－8＝4，
∴MN＝ CD＝2。
05
课堂小结
1.三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
2.应用三角形中位线定理 要求同时出现三角形及中位线
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形。
②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线。
① 证明平行问题；
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长(　　)
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．不变
D．不能确定
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.如图，在中，点，分别为， 的中点，点在
线段上，连结，点，分别为， 的中点。
求证：四边形 为平行四边形。
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
证明 点，分别为， 的中点，
点，分别为， 的中点，
是的中位线，是 的中位线。
，
四边形 为平行四边形。
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H。
求证：OG＝OH。
06
作业布置
【综合拓展类作业】
∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG ∴OG＝OH。
证明:取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD，
同理：ME∥AC，ME＝ AC，
∵AC＝BD
Thanks!
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