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16.5.2 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系
1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，能解决相关问题
探究一：一次函数与一元一次方程
问题1 下面方程有什么异同点？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =2x+1
2x +1=0 的解
2x +1=-1的解
2x+1=3的解
相同点：这3个方程的等号左边都是2x＋1.
不同点：等号右边分别是3, 0, －1.
从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y＝ 2x＋1的函数值分别为3, 0，－1时，求自变量x的值.或者说，在直线y＝ 2x＋1上取纵坐标分别为3，0,－1的点，看它们的横坐标分别为多少.
交流讨论：能否用函数y =2x+1解释下列方程的求解？
用函数的观点看，解一元一次方程ax+b=k就是求当函数（y=ax+b）值为k时对应的自变量的值．
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值.
求一元一次方程kx+b=0的解．
求一元一次方程kx+b=0的解．
一次函数y= kx+b
中，y=0时x的值．
从“函数值”看
从“函数图象”看
求直线y= kx+b与
x 轴交点的横坐标．
1.直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____.
-10
0
-10
2.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,_____）.
5
0
探究二：一次函数与一元一次不等式
活动2.先画出函数y = x+3的图象，再结合图象解答下列问题.
3
2
1
1 2 3 4 5
-4 -3 -2
O
x
y
-1
-1
4
y = x+3
(1)x取什么值时，函数值y始终等于零？
由图象可知，当x=-2时，函数值y始终等于零
(2)x取什么值时，函数值y始终大于零？
函数值y>0，即当x>-2时，y始终大于零
(3)x取什么值时，函数值y始终小于零？
函数值y<0，即当x<-2时，y始终小于零
3
2
1
1 2 3 4 5
-4 -3 -2
O
x
y
-1
-1
4
y = x+3
思考：从函数的角度如何对解不等式 x+3＞0
和 x+3<0进行解释？
不等式 x+3＞0的解集就是直线y= x+3在x轴
上方部分的x的取值范围.
不等式 x+3<0的解集就是直线y= x+3在x轴
下方部分的x的取值范围
说一说：借助图象，分析从函数的角度如何对解这三个不等式进行解释？尝试把你得到的结论推广到一般情形.
　 （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
y =0
y =-1
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
以x为未知数的一元一次不等式能变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0 (a≠0)的形式，解一元一次不等式相当于在某个一次函数 y＝ax＋b的函数值大于(小于)0时，求自变量x的取值范围.
求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集
求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集
y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围
从“函数值”看
从“函数图象”看
确定直线y=kx+b在x
轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围
3.如图1，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（ ）
A.x>-4 B. x>0
C. x<-4 D. x<0
C
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
一次函数与一元一次方程
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
一次函数与一元一次不等式
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
C
1.已知方程 x＋b＝0的解是x＝－2，下列可能为直线y＝ x＋b的图象的是(　　)
2.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的
解集是（ ）
A.x<5 B.x>5
C.x>-5 D.x>25
B
3.利用图象解不等式
(1)2x－5＞－x＋1，
(2)2x－5＜－x＋1．
(2)2x－5＜－x＋1的解集是y1＜y2时x的取值范围为x＜2．
(1)2x－5＞－x＋1的解集是y1＞y2时x的取值范围为x＞2；
两条直线的交点坐标是(2,－1)，由图可知：
在直角坐标系中画出这两条直线，如图所示．
解：设y1=2x－5，y2=－x＋1，
4.如图，直线y=kx+b经过点A（-1，-2）和点B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集是什么？
B
x
A
y
O
故答案为： 2＜x＜ 1．
即不等式2x＜kx＋b＜0的解集为： 2＜x＜ 1．
又因为B（ 2，0），此时自变量x的取值范围是 2＜x＜ 1．
解不等式2x＜kx＋b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分，
根据题意得到y＝kx＋b与y＝2x的交点为A（-1，-2），

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