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16.5.3 一次函数、反比例函数的实际应用
1.能分析实际问题中变量之间的关系，建立一次函数、反比例函数模型解决问题
探究一：一次函数的应用
问题1 为了研究某合金材料的体积V(????????3)随温度t(℃)变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下，
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}t(℃)
-40
-20
-10
0
10
20
40
60
V(????????3)
998.3
999.2
999.6
1000
1000.3
1000.7
1001.6
1002.3
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}t(℃)
-40
-20
-10
0
10
20
40
60
998.3
999.2
999.6
1000
1000.3
1000.7
1001.6
1002.3
能否据此寻求V 和t 之间的函数关系式？
分析：在平面直角坐标系中描出这些数值所对应的点,我们发现,这些点大致位于同一条直线上,可知V 和t 之间近似地符合一次函数关系.
我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相贴近,求出近似的函数关系式.
如图所示的就是一条这样的直线,较接近的点可考虑取(10，1000.3)
和(60，1002.3).
也可以将直线稍稍挪动一下,换上其他适当的两点,试一试.
我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式.但是现实生活中的数量关系是错综复杂的,在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系,需要我们根据经验分析,进行近似计算和修正,列出比较接近的函数表达式.
问题：庐陵某公司将“庐陵山耕”农副产品运往杭州市场进行销售．记汽车的行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时)．根据经验，v、t的一组对应值如下表：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}v/(千米/小时)
75
80
85
90
95
t/小时
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式；
探究二：反比例函数的应用
解：(1)根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象(如右图所示)，
∵当v＝75时，t＝4，∴k＝4×75＝300，
根据图象形状，选择反比例函数模型进行试实验．设v关于t的函数表达式为v＝ ，
将点(3.75，80)、(3.53，85)、(3.33，90)、(3.16，95)的坐标代入v＝ 验证均满足．
∴v与t的函数表达式是v＝ (t≥3)．
∴v＝ .
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}v/(千米/小时)
75
80
85
90
95
t/小时
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}v/(千米/小时)
75
80
85
90
95
t/小时
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
(2)∵10－7.5＝2.5，
∴当t＝2.5时，代入该函数表达式得v＝120>100.
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
v与t的函数表达式是v＝ (t≥3)．
(汽车行驶速度不超过100千米/小时)
“探究一”“探究二”中是如何确定两个变量间的函数关系的？请说说你的想法.
建立两个变量之间的函数模型，可以通过四个步骤完成：
（4）应用这个函数模型解决问题.
（3）进行检验；
（2）观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式(一般采用待定系数法)；
（1）将实验得到的数据在直角坐标系中描出；
世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(?F)计量法．两种计量法之间有如下的对应关系：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x/℃
0
10
20
30
40
50
y/?F
32
50
68
86
104
122
(1)在平面直线坐标系中描出相应的点，观察点的分布情况，猜想y与x之间的函数关系；
解：(1)如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y与x之间的函数关系为一次函数；
(2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验；
解：设y＝kx＋b，把(0，32)和(10，50)代入得
解得
所以y与x之间的函数表达式为
经检验，点(20，68)，(30，86)，(40，104)，(50，122)的坐标均能满足上述表达式，
世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(?F)计量法．两种计量法之间有如下的对应关系：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x/℃
0
10
20
30
40
50
y/?F
32
50
68
86
104
122
(3)华氏0度时的温度应是多少摄氏度？
解：(3)当y＝0时，
解得
∴华氏0度时的温度应是 摄氏度；
(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？
(4)把y＝x代入得
∴华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，此值为－40.
解得
函数模型的应用
①将实验得到的数据在直角坐标系中描出
②观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式
③进行检验
④应用这个函数模型解决问题
1.长方形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用图象可表示为 ( )
B
A.
B.
C.
D.
x
y
x
y
x
y
x
y
2.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y (cm)与所挂的物体的质量x(kg)之间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0 cmC．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm
D．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
B
3.某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) ( )
A. 至少2m2
B. 至多2m2
C. 大于2m2
D. 小于2m2
20
40
60
O
60
20
40
S/m2
p/(N/m2)
A
4.据说篮球巨人姚明的鞋子长31cm，那么你知道他穿多大码的鞋子吗？
解：我们选取点（22，34）及点
（25，40）的坐标代入y=kx+b中,得
22k+b=34,
25k+b=40.
解得k=2,b=-10
所以，一次函数的解析式为y=2x-10.
把x=31代入上式，得y=2×31-10=52.
因此，可以得到姚明穿52码的鞋子.

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