资源简介

15.3.1 分式方程及其解法
1.理解分式方程的概念,能判断一个方程是否是分式方程
2.能解分式方程
3.知道分式方程产生增根的原因和验根的必要性
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 .
它与一元一次方程有什么区别？
问题1 轮船在顺水时航行80千米和在逆水时航行60千米用的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，问轮船在静水中的速度x千米/时应满足怎样的方程.
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？
思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？
分母中都含有未知数.
分式方程的特征
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
（1）是等式；
（2）方程中含有分母；
（3）分母中含有未知数.
请找出下列方程中的分式方程.
（1） ; （2） ;
（3） ; （4） ;
√
√
√
解方程：(1)
“去分母”
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
交流讨论：
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x)
解：方程两边同乘（30+x)(30-x)，得
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
x=6是原分式方程的解吗？
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此x=6是原分式方程的解.
解方程：(1)
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
解方程：(2)
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
想一想：为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解）使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
因此，必须检验分式方程的解！
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
4.写出原方程的根.
（“一化、二解、三检验”）.
“去分母法”解分式方程的步骤
1.解方程：
解 ：方程两边都乘最简公分母x(x－2)，得
解这个一元一次方程，得 x = －3.
检验：把 x=－3 代入最简公分母，得
因此 x = －3 是原分式方程的解．
解：两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，
得x+2=4.
解得 x=2.
在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现使最简公分母（或分母）为零的根是增根.
检验：把x=2代入原方程，最简公分母为0，分式无意义.
因此x=2不是原分式方程的解，从而原方程无解.
1.解方程：
分式
方程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
注意
(1)去分母时，原方程的整式部分不要漏乘
步骤
(去分母法)
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（解整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
(2)约去分母后，分子是多项式时,注意添括号．
(3)牢记验根
1.有下列方程：① ????+????????=?????????????+?????，② ?????????????????=???? ，③ ????????+????????=????（????是常数．） ，④ ?????????????=????????????? .其中，属于分式方程的有 （填序号）
2.解分式方程??????????????????????????=????，去分母后，结果正确的是（ ）
A．3-1-x=1 B．3-1+x=1 C．3-1+x=3x D．3-1-x
3.分式方程??????????????????????=??????????????????????的解为 ．
?
②④
????=????
?
C
基础巩固
4.解下列分式方程：
(1)????????+??????????????????????=???? (2)??????????????????=?????????????????
?
（1）解：去分母，
得??????????????????????????+????=????，
去括号，得???????????????????????????=????，
移项、合并同类项，得????=????????，
经检验，????=????????是原分式方程的解.
?
（2）解：去分母，
得????????+??????????????????=????
去括号，得????????+?????????????????+????=?????，
移项、合并同类项，得????????=?????，
化系数为1，得????=?????，
检验：当????=????时， ?????????????=?????????=????，
∴ ????=????是原分式方程的增根，
即原分式方程无解．
?
1.关于x的方程????????+?????????????=?????????????+????有增根，则m的值是________．
2.若关于????的方程：?????????????+?????????????????????=????????+????有增根，则????= _____ ．
3.若关于????的方程?????????????=????+?????????????无解，则????的值是 ___ ．
4.若关于????的分式方程??????????????????=?????????????????有正整数解，则整数????为 ___ ．
?
?????
?
拓展提高
?????或????
?
?????或????或????
?
????或????
?
（1）由题意知，?????????????????=?????????????+????，去分母化成整式方程，求解，然后检验即可；
（2）根据分式方程无解：分①分式方程转化为整式方程，整式方程无解；②分式方程转化为整式方程，整式方程有解，但分式方程的最简公分母为0，两种情况求解即可．
?
5.已知关于x的分式方程?????????????????=?????????????+????.
（1）若????=????，分式方程的解为 ；
（2）若分式方程无解，则m的值为 ．
?
????=????
?
拓展提高
????

展开更多......

收起↑