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(共17张PPT)
1.4 三角形的中位线定理
1.了解三角形中位线的概念;
2.探索并证明三角形的中位线定理;
3.会运用三角形的中位线定理进行简单的推理与计算.
问题 将三角形面包记为△ABC，取△ABC三边的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，△ABC被分成了四个小三角形.这四个小三角形有什么关系？
四个全等的三角形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
如图，我们把连接△ABC两边AB、AC中点的线段DE叫作△ABC的中位线.
符号语言：
∵ D、E分别为AB、AC的中点，
∴ DE为△ABC的中位线.
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
不同之处：中位线是两个中点的连线；
中线是一个顶点和对边中点的连线.
相同之处：都是和边的中点有关的线段；
问题1：一个三角形有几条中位线？
D
E
F
3条
问题2：若连接AF，则AF是△ABC的 .
中线AF
中位线EF
你能尝试说出三角形中位线和中线的联系和区别吗？
中线
探究 如图，DE 是△ABC 的中位线，将△ADE 以点 E 为中心，顺时针旋转 180°，使点 A 和点 C 重合，得到△CFE. 四边形DBCF是平行四边形吗？此时DE 与 BC 具有怎样的位置关系和数量关系？
A
B
C
D
E
F
猜想：DE // BC ，DE= BC.
如何证明呢？
如图，在△ABC 中，DE 是 △ABC 的中位线.
求证：
DE∥BC，
DE = BC.
A
B
C
D
E
如图， DE是△ABC的中位线.
因为AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF，
于是AD=CF ，∠A=∠ ECF，
因此四边形 DBCF是平行四边形.
所以△ADE≌△CFE（边角边），
F
延长DE至F，使EF=DE. 连接CF.
从而AB // FC .
又BD=AD=CF，
所以 DE // BC， DE= DF= BC.
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE∥BC，DE= BC.
（位置关系）（数量关系）
作用：1.证明两条线段平行；
2.证明一条线段是另一条线段的2倍或 .
符号语言：
A
B
C
D
E
F
如图，DE，DF，EF是△ABC的三条中位线.
问题1：三条中位线把△ABC分成了几个小三角形？这些小三角形之间有什么关系？
分成了四个全等的三角形△ADE△BDF△DEF△CEF.
三个平行四边形,分别为□ ADFE、 □ BDEF 、 □ DECF,多次运用三角形的中位线定理即可.
问题2：以A，B，C，D，E，F为顶点，你能找出多少个平行四边形？并说明理由.
例1 如图，顺次连接四边形 ABCD 各边中点 E，F，G，H，得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？为什么？
连接 BD 可以吗？
解：连接 AC.
∵E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG，EF = HG.
∴EF∥AC，
HG∥AC，
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
例2 已知△ABC 的边 AB ，BC，CA 的中点分别是 D，E，F，连接DE，EF. 四边形 ADEF 的周长等于线段AB与AC的和吗？为什么？
解：四边形 ADEF 的周长等于线段AB与AC的和.理由如下：
如图，据题意得，DE，EF均为△ABC的中位线.
思考 在三角形内，与三角形两边相交，平行于第三边且等于第三边一半的线段是三角形的中位线吗？与同学交流.
E
A
B
C
D
DE∥BC，DE= BC
DE是△ABC的中位线
性质

如图，结合中位线的性质定理对该题意分析如下：
∵DF∥BC，∴四边形 BCFD 是平行四边形.
∴BD∥CF，BD＝CF.
∴∠ADE＝∠F.
又∠AED＝∠CEF，DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE(角边角).
∴AD＝CF，AE＝CE.
∴AD＝BD.
∴D，E 分别是 AB，AC 两边中点.
E
A
B
C
D
F
∵
解：延长 DE 到点 F，使 DE＝EF，连 CF.
∴ DF＝BC.
三角形的中位线定理
定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为______cm.
10
2.已知ABC各边的长度分别为3,3.4,4,求连接各边中点所构成的DEF的周长.
解：如图,由题意知,DEEF都是三角形ABC的中位线，
的周长.
3.已知的边的中点分别是, 连接. 四边形的周长等于线段与的和吗？为什么？
解:如图,四边形的周长等于线段与的和,理由如下：
是的一条中位线,是的中点,是中点，
,且,，
四边形是平行四边形.
.
四边形的周长.

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