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(共18张PPT)
1.5.2 矩形的判定
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理;
2.能熟练运用矩形的判定定理进行简单的计算和证明．
小明在商场买了一个相框，在路上遇到了好朋友小虎，小虎看了相框感觉这个相框不是合格，不是标准的矩形，小明想运用学过的知识验证下，你们能帮帮他吗？
问题1：前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2：四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？
A
B
D
C
(有1个角是直角)
A
B
D
C
(有2个角是直角)
A
B
D
C
(有3个角是直角)
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
你能证明上述猜想吗？
小芳同学由“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
A
B
C
D
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC ，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定定理1
三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
情境 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
α
α
α
思考 当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．
如何证明呢？
已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC.
∴ △ABC≌ △DCB(SSS).
∴ ∠ABC=∠DCB.
又∵ AC=DB，BC=CB，
∵ AB//CD，
∴ ∠ABC=∠DCB=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠ABC+∠DCB=180°.
矩形的判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形.
(对角线相等且互相平分的四边形是矩形.)
A
B
C
D
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
(或OA=OC=OB=OD)
回到情境，现在你可以帮小明检测所买的相框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？
方案1：分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，那么相框符合规格；
方案2：测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，那么相框符合规格；
方案3：分别测量出相框四边和两条对角线的长度，如果相框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么相框符合规格.
例1 如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC = AC，
OB=OD= BD.
又∵OA = OD，
∴AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
例2 如图，在□ABCD 中，它的两条对角线相交于点O.
(1) 如果□ABCD 是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？
(2) 如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ABCD 是矩形吗？
　
A　
B　
C　
D　
O
解：(1)因为□ABCD 是矩形，
所以 AC 与 DB 相等且互相平分，
于是 OB = DB = AC = OC，
所以△OBC 是等腰三角形.
(2) 因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC，
所以 AC = 2OC = 2OB = BD.
因此，□ABCD 是矩形.
1.如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定 ABCD是矩形的是 (　　)
A．AC=BD B．AC=BC
C．AD=BC D．AB=AD
A
A
B
C
D
O
证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，
∴OB = OD，OA=OC
又∵BM = DN ，∴OM=ON
∴ 四边形AMCN为平行四边形.
又∵ AC = 2MO，∴ AC = MN.
∴平行四边形AMCN是矩形.
2. 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， 其中M，N是BD上的两点，且BM = DN，AC = 2MO. 求证：四边形AMCN 是矩形.
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
即AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°.
∴四边形ABCD是矩形．
满足132=52+122，

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