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(共18张PPT)
1.6 菱形
1.6.1 菱形的性质
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.探索并证明菱形的性质定理；
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
下图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
通过观察发现这些平行四边形的邻边都相等，这就是本节课要研究的特殊平行四边形——菱形.
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
符号语言：
四边形ABCD是平行四边形，ABAD，
四边形ABCD是菱形.
平行四边形
菱形
一组邻边相等
A
B
C
D
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.
思考 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形，并思考以下问题:
1.菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.对称轴之间有什么位置关系？
2.菱形中有哪些相等的线段？
菱形的四条边都相等.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 两条对称轴互相垂直.
中心对称
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称
轴对称
四条边都相等
对角相等
对角线互相平分且垂直
观察所示的菱形，将你的发现填入下表.
菱形有几条对称轴？
对称中心在哪里？
如图，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线.
由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质：
猜想1：菱形的四条边都相等.
猜想2：菱形的对角线互相垂直.
思考 如何证明这两个猜想？
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC .
又∵AB = AD，
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
如图，在平行四边形 ABCD 中， AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
求证： AB = BC = CD =AD.
菱形的性质定理1：
菱形的四条边相等.
A
B
C
O
D
如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
求证: AC⊥BD.
证明：∵AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB = OD.
在等腰△ABD 中，∵OB = OD，
∴AO⊥BD.
菱形的性质定理2：
菱形的对角线互相垂直.
类比平行四边形的性质，从边、角、对角线、对称性四方面有条理的将菱形的性质结论归纳如下.
边
角
对角线
对称性
四条边都相等
对边平行
对角相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
每一条对角线平分一组对角
既是中心对称图形又是轴对称图形
问题1：菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高
= BC·AE.
E
问题2：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例1 菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长度分别为 4 cm， 3 cm，如图所示，求菱形 ABCD 的面积和周长.
因此，菱形 ABCD 的周长为2.5×4＝10 (cm).
解：菱形 ABCD 的面积
在 Rt△ABO 中，
由勾股定理得
菱形的性质
性质
相关计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 底×高 = 两条对角线
乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角
是中心对称图形和轴对称图形
对称性
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是 (　 　)
A.AB∥DC B.AC=BD
C.AC⊥BD D.OA=OC
B
2.若菱形的一条边长为5 cm,则这个菱形的周长为 (　 　)
A.20 cm　　B.18 cm　　C.16 cm　　D.12 cm
A
3.菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 O. 已知 AB = 5cm，OB = 3cm，求菱形 ABCD 的两条对角线的长度以及它的面积.
解：如图所示，在菱形ABCD中，∠AOB=90°.
∵OB=3cm，AB=5cm，
∴ 在Rt△AOB中，由勾股定理得，.
故 AC = 2OA = 8 cm，BD = 2OB = 6 cm.
∴S菱形ABCD=,
故菱形ABCD的两条对角线的长度分别是 8 cm，6 cm，面积为 24 cm2.
A
B
C
O
D
4.如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF. 求证：△ABF≌△DAE.
证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝AD，AD∥BC.所以∠BPA＝∠DAE.
因为∠ABC＝∠AED，所以∠BAF＝∠ADE.
因为∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
所以∠ABF＝∠DAE.
又因为AB＝DA，所以△ABF≌△DAE(ASA)．

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