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1.7 正方形
1.理解正方形的概念;
2.探索并证明正方形的性质，了解平行 四边形、矩形、菱形之间的联系和区别;
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
1.什么是矩形？
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.矩形有哪些不同于一般平行四边形的性质？
四个角都是直角；
对角线相等；
轴对称图形
A
B
C
D
O
3.什么是菱形？
有一组邻边相等的的平行四边形是菱形.
4.菱形有哪些不同于一般平行四边形的性质？
四条边都相等；
对角线互相垂直平分并且每一条对角线平分一组对角
轴对称图形
问题1:矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
邻边相等
矩形
正方形
问题2:菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形的定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
几何语言：
∵平行四边形ABCD中AB=BC,∠A=90°
∴平行四边形ABCD为正方形.
正方形既是矩形又是菱形．　
一个角是直角　
一组邻边相等　　
平行四边形 　
矩形 　
菱形 　
一组邻边相等　　
一个角是直角　
正方形　
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角；
2.四条边相等，对边平行；
3.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
思考 正方形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？正方形是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
A
B
C
D
例1 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点，过点 D ，DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F. 求证：DE = DF.
证明：因为四边形 ABCD 为正方形，
所以 AD = CD，∠A =∠DCF = 90°.
因为 DF⊥DE，
所以∠EDF = 90°，即∠1 +∠3 = 90°.
又因为∠2 +∠3 = 90°，所以∠1 = ∠2.
因此△AED≌△CFD(角边角)，
从而 DE = DF.
1
2
3
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
思考 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
如图,在矩形 ABCD 中，AC ， DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO＝CO＝BO＝DO ，∠ADC＝90°.
∵AC⊥DB，
∴ AD＝AB＝BC＝CD.
∴四边形ABCD是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
思考 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
如图，在菱形 ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对角线， AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵AC = DB，∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90°.
∴四边形 ABCD 是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角
一组邻边相等
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等且
一内角是直角
证明：因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AB = BC.
又因为 AA′ = BB′，所以 A'B = B'C.
又因为∠B =∠C = 90°，BB′ = CC'，
所以△BB'A'≌△CC'B' (边角边)，
从而 B'A' = C'B'.
同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'.
例2 如图，已知点 A'，B'，C'，D' 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA'＝BB'＝CC'＝DD'.求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形.
1
2
3
于是 A'D' = D'C' = C'B' = B'A'.
因此四边形 A'B'C'D' 是菱形.
又因为∠1 = ∠3，∠1 +∠2 = 90°，
所以∠2 + ∠3 = 90°，
于是∠D'A'B' = 90°.
因此四边形 A'B'CD' 是正方形.
1
2
3
正方形的性质
四条边都相等
两组对边分别平行
两条对角线互相平分
边
对角线
角
两组对角分别相等，邻角分别互补
四个角都是直角
两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
对角线相等
正方形
5种识别方法
三个角是直角
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形的判定
四条边都相等
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角互补 D. 对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
B
D
3.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
C
A
B
C
D
O
4. 已知正方形的一条对角线长 4 cm，求它的边长和面积.
解：设正方形的边长为x cm，
根据勾股定理，得x2 + x2=42，
解得 （舍去） .
∴ S正方形 = x2 = 8 (cm2).
∴ 正方形的边长为 cm，面积为 8 cm2.
5.如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O，且EG⊥FH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴OB = OC，∠ABO = ∠BCO = 45°，
∠BOC = 90°= ∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH，∴∠BOE +∠BOH = 90°.
∴∠COH = ∠BOE，∴△CHO≌△BEO. ∴OE = OH.
同理可证：OE = OF = OG. ∴OE = OF = OG = OH.
又∵EG⊥FH，∴四边形 EFGH 为菱形.
∵EO + GO = FO + HO ，即 EG = HF，
∴四边形 EFGH 为正方形.
B
A
C
D
O
E
H
G
F

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