资源简介

高三数学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 若集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 为虚数单位，则 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. i D.
3. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 若平面向量 两两的夹角相等，且 ，则 ( )
A. 3 B. 4 C. 3 或 0 D. 4 或 1
5. 若函数 是奇函数，则 的值为( )
A. 2 B. -2 C. -1 D. 1
6. 已知圆 与直线 相交于 两点， 当 最小时， 的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知四面体 满足 均为等腰三角形,若 ，则该四面体外接球的表面积为( )
A. B.
C. D.
8. 若 ，则下列不等关系一定不成立的是( )
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分。
9. 下列命题为真命题的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 下列说法中正确的有( )
A. 一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为 51
B. 在成对样本数据分析中相关系数 ，表示两个分量之间没有线性相关关系
C. 经验回归方程为 时的观测值为 34,则残差为 0.009
D. 将总体划分为两层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为 和 ,若 ,则总体方差
11. 已知双曲线 ， 为坐标原点， 、 分别是双曲线的左右焦点， 是双曲线位于第一象限上的点， 、 分别是 的内心、重心，则下列说法正确的是( )
A. 的横坐标为
B. 直线 与双曲线相切
C. 的最大值是
D. 若 轴,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _____.
13. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ,过右焦点 且倾斜角为 的直线交椭圆于 两点，满足 ，则椭圆 的离心率 _____.
14. 已知 ,则 _____； _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知 分别为 的内角 对边, 且 .
(1)求 ；
(2)已知 是边 的中点，求 的最大值.
16. (15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 是正三角形，侧面 底面 ， 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)试问在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与底面 所成夹角的余弦值为 ，若存在求出 的值，若不存在，请说明理由.
17. (15 分)
2026 年被业界公认为 “具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪磨式下降和视觉一语言一动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解, 举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行, 第一轮通过后方可进入第二轮, 两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、 小华、小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 ,通过第一轮后通过第二轮的概率依次为 , 假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率:
(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这3人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望.
18. (17 分)
已知函数 ，e为无理数且
(1)求 在区间 的最值；
(2)若 对 恒成立，求 的取值范围；
(3)对于 ，证明: .
19. (17 分)
已知点 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的一点且有 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，连接 、 并延长交抛物线 于另外一点 .
(i) 若抛物线 上有且仅有 3 个点 、 、 使得 、 、 的面积均为定值 ,求 的值;
(ii) 已知点 是抛物线 上异于 的两点,且 是 的角平分线. 请问直线 是否过定点 ,若过定点,求出 点的坐标,若不过定点,请说明理由.
高三数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C A B C D A B C BD ABC ABD
三、填空题
12 题: -1 13 题: 题:
12.
13. 设 则 ,在 分别由余弦定理解得: 即
14.
令 ,易知 ,
令 ,
则
,代入 化简可得 .
四. 解答题
15、(1)由题意可知 . 2 分
由正弦定理及 可知 , ,则有 ,即 , .4 分
. .5 分
(2)由(1)及余弦定理可知 .6 分
,当且仅当 时,“ ”成立. .7 分
是 的中点, , .8 分
两边平方可得 10 分
, .12 分
所以 的最大值为 . .13 分
16、(1)由题意可知 ， ， 1 分
侧面 底面 ,侧面 底面 平面 , 平面 , 3 分
又 平面 平面 , .5 分
平面 6 分
(2)如图，分别取 、 的中点 、 ，连接 两两垂直，则以 为坐标原点， 为 轴建立空间直角坐标系
由题意可知 ,
, 7 分
设 ,则 ,
所以 , .8 分
设平面 的法向量为 ,则 ,
代入数值可得 ,
不妨令 ,则 , 11 分
由题意可知, 即为平面 的法向量,则有 ,
, .13 分
解得 或 (舍去),所以 .15 分
17、(1)记3人中通过第一轮的人数为 ，由题意可知 ， 1 分
记 “ 3 人中至多有 2 人通过第一轮 ” 为事件 ,则 3 分
(2)记随机选择小明、小华、小方的事件分别为 ,通过第二轮的事件记为 ,则由题意可知
.5 分
则 .7 分
, .8 分
(3)记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为 ，则 ， , 9 分
由 相互独立可知 , 10 分
.11 分
.12 分
.13 分
所以 的分布列是
0 1 2 3
5 32
则 的数学期望是 . 15 分
18、(1)由 ，可知 ， ， 1 分
易知 在 单调递减,在 上单调递增, 2 分
,则 在 单调递增, 3 分
所以 . 5 分
(2)构造函数 ,
,易知 ,若 ,
则 使得 在 上单调递减, ,与题意矛盾, .7 分
则 ,此时 , .8 分
令 ,只需证 在 恒成立即可. , 恒成立,及 在 单调递增, .9 分
在 单调递增,则 恒成立,即证, 10 分
所以 的取值范围是 .11 分
(3)由(2)可知 在 恒成立，
则有 在 恒成立, .12 分
令 ,则有 恒成立, 14 分
, 16 分
,
即证 .17 分
19、(1)由题意可知 ，则 点的坐标为 ， .1 分代入抛物线方程解得 或 (舍去),所以抛物线 的方程为 . 3 分
(2)(i)由题意可知直线 的方程为 ，联立 可得 ，解得 ， 所以 ,所以 . .4 分
如图所示,由图象可知,对任意面积 ,抛物线位于直线 右上方的部分均存在 2 点使得 的面积均为定值 ,则抛物线在直线 的左下方部分存在唯一的一点 满足条件,此时 到直线 的距离达到最大值,即在 处的切线于直线 平行, .6 分当 时,抛物线方程为 ,
所以 , .7 分
则 到直线 的距离为 , 8 分
所以定值 .9 分
(ii) 是 的角平分线,所以 点到直线 的距离相等,设该距离为定值 . 当 的斜率不存在时,由题意可知 ,易知此时 与 轴平行,不满足题意, .11 分
所以 的斜率均存在. 设过 点的直线斜率为 ,则过 点的直线可表示为 ,
则有 ,则有 , .13 分
设 ,则 ,两式相减可得 ,
利用点斜式方程可得 , .14 分
由 化简可得, , .15 分
结合 ，易知直线 过定点 . .17 分

展开更多......

收起↑