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数学试题
2026.2
本试卷共4页，19 小题，考试时间 120 分钟，总分 150 分。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ，则
A. B. C. D.
2. 若 ,则 的虚部为
A. 1 B. -1 C. D. -i
3. 双曲线 的两条渐近线的夹角为
A. B. C. D.
4. 已知随机变量 ,若 ,且 ,则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
5. 已知函数 则
A. B. C. D.
6. 已知 为锐角,若 ,则
A. B. C. D.
7. 已知等差数列 的各项均为正数,记其前 项和为 ,若数列 是等差数列,且 与 的公差相等,则
A. B. C. D. 1
8. 已知函数 恰有两个极值点，且曲线 与 轴相切，则 的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 的最小正周期为 ,且 ,则 A.
B. 在区间 上单调递减
C. 的图象关于点 对称
D. 的图象关于直线 对称
10. 设抛物线 的焦点为 ,过 的直线与 交于 两点,若弦 的中点为 ,则 A. 的坐标为 B. 直线 的斜率为 1
C. D.
11. 已知棱长为 1 的正四面体的四个顶点 均在球 的球面上，动点 分别在棱 上(不包括端点)，则
A. 面积的最小值为
B. 若恰有两个点 满足 ，则 的取值范围是
C. 到平面 和到平面 的距离之和为定值
D. 若 ，则 的周长不可能为
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角为_____.
13. 在 中,已知 的角平分线交 于 ,则 _____.
14. 在平面直角坐标系 中,设集合 ,从 中随机选取 2 个不同的元素,其对应的点记为 ,记事件 为 “ 三点能构成三角形”,事件 为 “ 的面积恰为整数”，则 _____； _____. (第一空2分，第二空3分)
四、解答题:本大题共5 小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
为研究某市高三年级学生身高和性别的关系, 随机抽取了 200 名高三年级学生, 得到如下列联表:
性别 身高 合计
低于170cm 不低于 170cm
女 60
男 90
合计 90 200
(1)求列联表中的 的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取 6 人，其中不低于 的人数记为 ，求 的期望.
(2)依据小概率值 的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关. 附: ,
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16.(15分)
记数列 的前 项和为 ，已知 。
(1)求 的通项公式；
(2)设 . 记数列 的前 项和为 ，若 ， ， 求 的取值范围.
17. (15分)
如图，在三棱锥 中， 与 均为等边三角形，平面 平面 ， 是 的中点， 是 上的动点.
(1)证明: ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17分)
在直角坐标系 中,点 ,动点 在直线 的左侧,且到直线 的距离恒为 ,记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)设不经过 的直线 的方程为 ，已知 交 于 ， 两点，且 的值与 的值无关.
(i) 求 的值;
(ii) 是否存在实数 ,使得 若存在,求 的值; 若不存在,请说明理由.
19.(17分)
已知函数 ，且 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若曲线 和 存在公切线,求 的取值范围;
(3)若存在相异实数 ,使得 ,且 ,求 的取值范围.
数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C A B C B D B D AC ABD ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题:共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
为研究某市高三年级学生身高和性别的关系, 随机抽取了 200 名高三年级学生, 得到如下列联表:
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170 cm
女 60
男 90
合计 90 200
(1)求列联表中的 ， 的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取 6 人，其中不低于 170cm 的人数记为 ，求 的期望.
(2)依据小概率值 的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关. 附:
解: (1) 由题意, , 2 分
样本中抽中不低于 的频率为 , 4 分
将样本频率视为概率, 若在全市高三学生中随机抽取 6 人,
其中不低于 的人数记为 ,则 , 6 分
所以 . 7 分
(2)零假设为 :高三年级学生的身高与性别无关， .8 分
由 (1) 可知 9 分 , 11 分
根据小概率值 的独立性检验,推断 不成立,即该市高三年级学生的身高与性别有关. 13 分
16. (15分)
记数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，若 ， ， 求 的取值范围.
解: (1) 因为 ,所以 , 1 分
当 时， ， -2
分
所以 ,即 , 3 分
则 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 4 分
所以 的通项公式为 . 5 分
(2)易知 , 7 分所以 , 9 分因为 , 11 分 13 分所以 的取值范围为 . 15 分
17. (15 分)
如图，在三棱锥 中， 与 均为等边三角形，平面 平面 ， 是 的中点， 是 上的动点.
(1)证明: ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 求平面 与平面 的夹角的余弦值.
解:(1)证明: 与 均为等边三角形，
,
取 中点 ,连接 ,则有 , 1 分
平面 平面 平面 平面 ,平面 平面 ,
, 2 分
,
,
， 3 分
在 Rt 中,有 , 4 分
在 Rt 中,有 ,
， 5 分
在 中,易知有 ,
. 6 分
(2)解:由(1)可知 ， ， ，
如图所示，以 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系,不妨设 ,
,
则 , .8 分设 ,
, 9 分
设平面 的一个法向量为 ,则
令 ,则 , 11 分
设直线 与平面 的夹角为 ,
则 ,
解得 , 12 分
易得平面 的一个法向量为 , 13 分
设平面 与平面 的夹角为 ,
, 14 分
平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 15 分
18. (17 分)
在直角坐标系 中,点 ,动点 在直线 的左侧,且到直线 的距离恒为 ,记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)设不经过 的直线 的方程为 ，已知 交 于 ， 两点，且 的值与 的值无关.
(i) 求 的值;
(ii) 是否存在实数 ,使得 若存在,求 的值; 若不存在,请说明理由.
解: (1) 设 ,由已知,得 , 2 分
所以 , 3
分
两边平方,化简得 的方程为 . 4 分
(2)(i)设 ，
由( 1 )可知 ， 5 分
所以 , 6 分
由 得 , .7
分
所以 ,
且 , -8
分
因此 , .9 分
因为 的值与 无关,所以 ,
解得 (此时 ) . 10
分
(ii) 若存在实数 符合题设,则 , 11 分
所以 ,
因为 ,
所以 , 12 分
在 中,由正弦定理,得 , 13 分
易知 ,且 ,所以 ,
所以 , 14 分
所以 ,所以 ,即 ,
所以 ,即 , 15
分
由(1)可知 ,所以 , 16 分故 ,从而 的方程为 ,
显然这与 不经过 矛盾,所以不存在符合题设的实数 . 17 分
19. (17 分)
已知函数 ,且 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若曲线 和 存在公切线,求 的取值范围;
(3)若存在相异实数 ，使得 ，且 ，求 的取值范围.
解: (1) 易知 , 1 分
当 时， ， 单调递增， 2 分
当 时,令 ,解得 ,
所以当 时, 单调递减,
当 时， ， 单调递增， 3 分
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 4 分
(2)曲线 在点 处的切线方程为, ,
整理得, , 5 分
曲线 在点 处的切线方程为, ,
整理得, , 6 分
所以 故 ,且 , 7 分
所以 ,整理得, , 8 分设 ,则 ,
所以 在区间 单调递减,在区间 单调递增, 9 分
所以 的极小值,也是最小值为 ,
所以 ,解得 ,
所以 的取值范围是 . 10 分
(3)依题意， 即 11 分
设 化简得
即函数 至少有两个零点, 12 分
,设函数 ,则 ,
易知 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,且 ,
若 ,则 单调递减, 至多 1 个零点,不符题意; 13 分若 ,即 ,则函数 存在两个零点,记为 ,且 , 其中 , 14 分
所以 在区间 和 上单调递减,在区间 上单调递增,
同理,可得 , 15 分
设 ,则 ,
所以 单调递减, ,即 ,
所以 , 16 分
因为 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以 ,且 , 所以 在区间 上各存在一个零点,所以 符合题意; 综上所述， 的取值范围是 . 17 分

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