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苏科版数学8年级下册培优精做课件8.2特殊的平行四边形第8章四边形授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
示例 1 矩形与平行四边形的关 系
2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形
的所有性质外，还具有自身独特的性质（如下表）.#1.2
性质 符号语言 图示
角 矩形的四个 角都是直角.
性质 符号语言 图示
对角 线 矩形的对角 线相等. _______________
性质 符号语言 图示
对称 性 矩形是中心 对称图形， 也是轴对称 图形，它每 组对边中点 连线所在的 直线就是它 的对称轴.
典例1 如图，在矩形中，对角线，
相交于点 ，且 .若，
则 的长为 ( )
C
A.B.3 C. D.6
解析： 四边形 是矩形， , .
， ， ，
是等边三角形， .
，， .
返回
D
1.
[无锡期末]矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　)
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线互相平分
D．对角线相等
返回
2.
C
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠ACB＝∠ACD
返回
3.
B
在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若
∠AOB＝60°，BD＝8，则CD＝(　　)
A．6
B．4
C．3
D．5
判定方法 符号语言 图示
角 有一个角是直 角的平行四边 形是矩形（定义法）.
判定方法 符号语言 图示
角 三个角是直角 的四边形是矩 形（判定定理 1）.
判定方法 符号语言 图示
对 角 线 对角线相等的 平行四边形是 矩形（判定定理2）.
典例2 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是
( )
C
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是不是
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
典例3 如图，在中， ，平分
.四边形 是平行四边形，交于
点，连接.求证：四边形 是矩形.
证明：，平分， ， .
四边形是平行四边形，， ，
， 四边形 是平行四边形.
， ， 四边形 是矩形.
1.两条平行线之间的距离：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作
两条平行线之间的距离.
典例10 如图，在正方形中，点，
分别在边，上，， ，
则____ .
60
解析： 四边形 是正方形，
， .
在和中，
, .
， ， ， .
返回
4.
如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(1，3)，则AC的长为________.
返回
5.
30°
如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠OAE＝15°，则∠AEO的度数为________.
返回
6.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2OA＝2OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠AOB＝∠OAD＋∠ODA＝2∠ODA.
∵∠AFD＝2∠ADB，∴∠AFD＝∠AOB，
∴AO＝AF＝5，∴BD＝2OA＝10.
(4分)如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，点E为BC边上一点，连接AE交BD于点F，∠AFD＝2∠ADB，AF＝5，求BD的长.
三种距离之间的区别与联系
两点间的距 离 点到直线的距 离 两条平行线之间的距离
示 意 图
两点间的距 离 点到直线的距 离 两条平行线之间的距离
区 别 连接两点的 线段的长 度. 点到直线的垂 线段的长度. 两条平行线中，从一条直线上任
意一点到另一条直线的垂线段的
长度.
联 系 都是指某一条线段的长度. （注意：距离是数值） 2.性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直
线的距离都相等，即两条平行线之间的距离处处相等.
一般性结论:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
符号语言：如图所示，，是直线上任意两点，
，，，
.
典例4 如图，已知，在 上，
并且，为垂足，，是 上
任意两点，点在上.设 的面积为
，的面积为，的面积为 ，小颖认为
，请帮小颖说明理由.
解： ，，，的边 上的高相等，
，， 这三个三角形同底等高，
，， 这三个三角形的面积相等，
即 .
1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
示例 2 菱形与平行四边形的关 系
2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形
的所有性质外，还具有自身独特的性质,总结如下表.#1.7
性质 符号语言 图示
边 菱形的四条边 相等. _____________________
性质 符号语言 图示
对角 线 菱形的对角线 互相垂直. （性质定理）
性质 符号语言 图示
对称 性 菱形是中心对 称图形，也是 轴对称图形， 它的每条对角 线所在的直线 就是它的对称 轴.
3.菱形的面积#1.8
公式 由来 文字语 言 符号语言 图示
菱形 的面 积公 式 菱形 是平 行四 边形.
公式 由来 文字语 言 符号语言 图示
菱形 的面 积公 式 菱形 的对 角线 互相 垂直.
对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长的乘积的
一半.（证明方法同上述推导过程）#1.8.1.1
）.
菱形的面积的推导过程：#1.8
典例5 如图，菱形 的周长为
20，对角线，相交于点，是
的中点，则 的长是( )
A
A.2.5 B.3 C.4 D.5
解析：
返回
B
1.
[南通期末]下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
返回
2.
D
[苏州月考]如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是(　　)
A．8
B．15
C．10
D．6
返回
3.
A
如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是(－3，4)，则顶点B的坐标是(　　)
A．(2，4)
B．(4，2)
C．(2，3)
D．(3，2)
返回
4.
15
[云南中考]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是________.
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5.
25°
[盐城月考]如图，在菱形ABCD中，AC和BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BAC＝25°，则∠OED的度数是________.
判定方法 符号语言 图示
边 有一组邻边相等的平行 四边形是菱形. （ 定义法）
判定方法 符号语言 图示
边 四边相等的四边形是菱 形.（判定定理）
判定方法 符号语言 图示
对 角 线 对角线互相垂直的平行 四边形是菱形. （判定定理）
典例6 已知的对角线， 相交
于点，请你添加一个适当的条件，使 成为一个菱形.你添
加的条件是________________________.（填一个即可）
（答案不唯一）
解析：因为四边形 是平行四边形，所以只要添加一组邻边相
等就可以，或者使得对角线互相垂直，故答案可以为 或
或或或 等.
典例7 如图，在中，，分别是 ，
上的点，且 .
求证：四边形 是菱形.
证明： 四边形 是平行四边形，
， .， .
又， 四边形 是平行四边形.
又， 四边形 是菱形.
1.正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形
叫作正方形.
换言之，既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
2.正方形的判定
判定定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.（从矩形出发）
有一个角是直角的菱形是正方形.（从菱形出发）
要判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是
矩形又是菱形即可.因此除了正方形的判定定理，还可以“先判定矩
形，再判定对角线互相垂直”或“先判定菱形，再判定对角线相等”
等来判定正方形.
敲黑板
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系
典例8 (2025·乐山中考)如图，在中，
对角线与相交于点 . 小乐同学欲添
加两个条件使得四边形 是正方形，
现有三个条件可供选择：；
；
则正确的组合是__________________.（只需填一种组合即可）
解析：正确的组合是①②或①③.
①②组合： 四边形是平行四边形， ，
四边形 是菱形， .
， 四边形 是矩形， 四边形 是正方形.
典例8 (2025·乐山中考)如图，在中，
对角线与相交于点 . 小乐同学欲添
加两个条件使得四边形 是正方形，
现有三个条件可供选择：；
；
（或）
则正确的组合是__________________.（只需填一种组合即可）
解析：正确的组合是①②或①③.
①③组合： 四边形是平行四边形， ，
四边形 是菱形.
又 ， 菱形 是正方形.
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B
1.
添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是(　　)
A．AB＝CD
B．AC⊥BD
C．∠BAD＝90°
D．AC＝BD
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2.
C
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是(　　)
A．AB＝DB
B．BD＝OC
C．AC＝BD
D．∠ADC＝120°
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3.
60°
如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，连接BE，AC交于点G，则∠AGE＝________.
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4.
22.5
如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD，连接AE，则∠E＝________°.
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5.
如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F.已知∠CEF＝α，则∠AEB的度数是________.
典例9 如图，等边三角形的顶点,分别在矩形 的
边,上，且 .求证：矩形 是正方形.
证明： 四边形是矩形， .
是等边三角形，
, .
, ,
,
， ,
矩形 是正方形.
正方形具有矩形和菱形的所有性质.总结如下表：#1.12
性质 符号语言 图示
边 正方形的四条边 都相等. （性质定理） ______________________
性质 符号语言 图示
角 正方形的四个角 都是直角. （性质定理）
性质 符号语言 图示
对 角 线 正方形的对角线 相等且互相垂直 平分. （性质定理）
性质 符号语言 图示
对 称 性 正方形是中心对 称图形，也是轴 对称图形，过每 组对边中点的两 条直线及两条对 角线所在的直线 是它的对称轴.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比#1.13
类型 平行四边形 _____________________________ 矩形 __________________________ 菱形 _______________________________ 正方形
________________________
边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 角 特性 四个角都 是直角 四个角都是直 角
对角 线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相 等 对角线互相垂 直 对角线相
等且互相
垂直
对称 性 特性 轴对称图形 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴
7.
(8分)如图，E是矩形ABCD对角线AC上的点(不与A，C重合)，连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F，连接BF交AC于点G，BE＝AD.
(1)求证：∠FEC＝∠FCE；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠DCB＝90°.
又∵BE＝AD，∴BC＝BE.∴∠BEC＝∠BCE.
∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°＝∠DCB.
∴∠BEF－∠BEC＝∠DCB－∠BCE，即∠FEC＝∠FCE.
解：BF⊥AC.理由：∵∠FEC＝∠FCE，∴EF＝CF.
又∵BE＝BC，∴易得BF垂直平分CE，即BF⊥AC.
(2)试判断线段BF与AC的位置关系，并说明理由.
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8.
C
[南通月考]如图，在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，若∠BAE＝α，则∠DAF的度数为(　　)
A．45°＋α
B．45°－α
C．90°－2α
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9.
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为________.
10.
(4分) 如图，∠POQ＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OP，OQ上，当点B在边OQ上运动时，点A随之在边OP上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝4，在运动的过程中，求点D到点O的最大距离.
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11.
(8分)(1)【探究规律】如图①，P为 ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2， ABCD的面积记为S，试探究S1＋S2与S之间的关系；
(2)【解决问题】如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE＝CG＝3，AH＝CF＝2，点P为EG和FH的交点，四边形AEPH，四边形CGPF的面积分别记为S1，S2，求S1＋S2的值.
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