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冀教版数学7年级下册培优精做课件10.3三角形的角平分线、中线和高线第十章三角形授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.新课导入
如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的一个动点，连接 AD，在点 D 的运动过程中，观察点 D或线段 AD 有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
答： ∠AOC= ∠BOC
问题2 你能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗
Ｃ
Ａ
Ｂ
知识点1 三角形的角平分线
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
A
C
B
Ｄ
知识点1 三角形的角平分线
1
2
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.
A
B
C
D
∠1=∠2
注意：角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段．
AD是△ABC的角平分线.
知识点1 三角形的角平分线
1. 某班四位同学画出的线段，其中能表示 的高的
是( )
D
A. B. C. D.
2. 如图，在中， ，，是 上两点，且
，平分 ，则下列说法中不正确的是( )
C
A. 是 的中线
B. 是 的角平分线
C.
D. 是 的高
练一练 如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°,则∠EAD=( )
A.60°
B.40°
C.20°
D.10
C
C
A
B
D
E
知识点1 三角形的角平分线
问题3
分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中，画出它们的角平分线，观察它们有什么特点
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
归纳：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，三角形的三条角平分线交于一点.
知识点1 三角形的角平分线
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC= AB
问题2 类比三角形的角平分线的概念，试说明什么叫三角形的中线？
知识点2 三角形的中线
A
B
C
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
D
连接三角形的一个顶点与它对边中线的线段叫作三角形的中线.
如图，在△ABC中，线段AD是△ABC的边BC上的中线，则BD=DC
想一想：由三角形的中线你能得到什么结论？
知识点2 三角形的中线
如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
A
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心.
如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点O，则点O为△ABC的重心.
知识点2 三角形的中线
（第3题）
3. 如图，在中，是高， 是中
线，，，则 的长为
( )
B
A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6
【点拨】, ,
.又是中线， .
（第4题）
4.如图，已知点是的重心，连接
并延长，交于点，， 的周
长比的周长大，则 ____.
2.2
【点拨】 点是的重心，且 的延
长线交于点,是 的中点,即
的周长比 的周长大
,
.即
.又 ,
.
（第4题）
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
知识点3 三角形的高线
A
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线
作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三
角形的高线，简称三角形的高.
B
C
D
如图, 线段AD是BC边上的高.
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
∵AD是△ ABC的高
∴∠ BDA = ∠ CDA =9 0 °
几何语言：
知识点3 三角形的高线
每人画一个锐角三角形，试着画出这个三角形的三条高
锐角三角形的三条高交于一点.
O
锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
A
B
C
D
E
F
知识点3 三角形的高线
直角三角形的三条高
A
B
C
画出一个直角三角形，画出直角三角形的三条高,
直角边BC边上的高是 ;
AB
直角边AB边上的高是 ;
CB
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
斜边AC边上的高是 ;
BD
知识点3 三角形的高线
钝角三角形的三条高
A
B
C
D
E
F
钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O
知识点3 三角形的高线
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
(E,F)
A
C
D
E
F
归纳：三角形有三条高，这三条高相交于一点.
(1)锐角三角形的高交于三角形内一点；
(2)直角三角形的高交于直角的顶点；
(3)钝角三角形的高交于三角形外一点.
知识点3 三角形的高线
例题解析
例 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.
A
C
D
B
解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，
∴AC+AB=35-11=24（cm）.
又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,
∴AB-AC=3，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
5. 已知为的高，若 ，
，则 _______.
6或14
【点拨】分两种情况讨论:①当高在 的内部时，如
图①.，， .
②当高在的外部时，如图②.， ，
.综上， 或14.
6.如图，在中，是高， 平
分， ， ，
求 的度数.
【解】是 的高，
. .
又 ， .
平分， ，
.
.
7. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列三角形
（阴影部分）的面积与 面积相等的是( )
A
（第7题）
A. B. C. D.
（第8题）
8. 如图，在中， ,
平分,,垂足为,为
上一点，，则 的度数为
( )
D
A. B. C. D.
（第8题）
【点拨】平分, ,
. ,
.
.
, . .故选D.
（第9题）
9. 如图，在 中，
，，垂足分别为，， 与
交于点，连接并延长交于点 .若
，，，则
__________.
（第9题）
【点拨】因为，，与
交于点，所以 （三角形三条高所在
的直线交于一点）.所以
.又
因为，， ，所以
.
所以 .
（第10题）
10.如图，已知是的中线，是
边上一动点，若 的面积为10，
，则 长度的最小值为____.
2.5
【点拨】是的中线， 的
面积为10， .易知当
时，最短， .又
， .
11. 如图，在一
个面积为 的等边三角形中，连接
_ _________.
三条边中点得到4个相同的三角形，将中间的三角形涂成白
色，记为第一次操作；再对其余3个三角形进行同样的操作，
记为第二次操作. 按照上述规律继续操作，则经过 次操作后，
该等边三角形中白色三角形的面积之和是
【点拨】 在面积为 的等边三角形
中，连接三条边中点得到4个相同的
三角形， 第一次操作后，阴影三角形的面积和是 ；第二
次操作后，阴影三角形的面积和是 ；第三次操作后，阴
影三角形的面积和是;…;第 次操作后，阴影三角形的面
积和是 经过 次操作后，该等边三角形中白色三角形
的面积之和为 .
12. 如图①、图②均是 的正方形网格，
每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，
仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保
留作图痕迹.
①
②
（1）在图①中的边上找一点，连接，使得 的
面积等于面积的 ；
①
②
【解】边上的点 即为所求,如图①所示.
（2）在图②中的的内部找一点，连接，， ，
使得，和 的面积相等.
①
②
点 即为所求,如图②所示.
①
13.（1）如图①，在中， ,
,,,，则 ___；
【点拨】 在中， ，
，
.又, ,
， .
②
（2）如图②，在中， ,
，则的高与 的比是
_____；
【点拨】
，
,， .
.
（3）如图③，在中，，点 ，
分别在边,上，且,, ，垂足
分别为，.若，求 的值.
③
③
【解】 ,
, ，且
，
.
又 ，
.
.
三角形中几条重要线段
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
中线
角平分线
高
三角形的角平分线是一条线段

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