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第二十章 一次函数
20.4 一次函数的应用
第1课时　一次函数的应用（1）
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问题1:如图，你发现了哪些量 你还想到了哪些量 它们之间是否存在一定的数量关系
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根据图片的信息并联想自己亲身经历的乘坐汽车的经历,并提炼出这一过程中的量(乘客人数、票价、总成本等),联想到票价×乘客人数-总成本=盈利,乘客人数≤20(准乘人数)-2(司机和乘务员),这些量之间存在着一定的数量关系,可以用数学符号的方式进行表述.
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问题2:你能提出什么样的问题 你能解答吗
示例:满载时盈利多少这样特殊情况下的问题;承载3人时盈利情况; 在乘客数量不能确定(设承载x人)时是否也可以表达这种盈利关系等问题.
分别对应着数量关系:盈利=25×(20-2)-180;盈利=25×(3-2)-180;盈利=25×(x-2)-180.
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任务一：函数思想下问题关系的研究
问题1:设乘客人数为x时,客车运营盈利y元,求y与x之间的函数关系式.
y=25x-180,因需扣除司机和乘务员,x的取值范围为1≤x≤18.
问题2:用求出的函数关系式y=25x-180,(1≤x≤18), 解决下列问题:
(1)当客车运营盈利120元时,求乘客人数.
盈利y=120,代入得方程120=25x-180.得出x=12,在取值范围内.
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任务一：函数思想下问题关系的研究
(2)要想使客车运营盈利超过170元,则乘客人数至少为多少
提示:盈利超过170元,“超过”对应哪种数学关系
大于.
列出不等式25x-180>170,求解得x>14,结合x为整数,得出乘客人数至少为15人.
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任务一：函数思想下问题关系的研究
练习:已知书店售卖某本书时,每本的利润为8元,书店的固定运营成本为20元.设售出书本数量为x本时,书店盈利y元.
(1)求x与y之间的函数关系式.
y=8x-20.(x为自然数)
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任务一：函数思想下问题关系的研究
(2)利用求出的函数关系式解决下列问题:
①当书店盈利100元时,求售出书本数量.
依题意有8x-20=100,解得x=15.
②要想使书店盈利超过150元,则售出书本数量至少为多少
依题意有8x-20>150,解得x>21.25,根据x的实际意义只能取整数,所以售出书本数量至少为22本.
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任务二：构建函数模型，解决实际问题
见教材图20.4-1,某种称量体重的台秤,最大称量是150 kg,称体重时,体重x(kg)与指针按顺时针方向转过的角度y(°)有如下对应数据:
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任务二：构建函数模型，解决实际问题
(1)请在平面直角坐标系中,分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标,描点连线,画出图象.
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任务二：构建函数模型，解决实际问题
(2)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
用待定系数法,以(0,0)和(15,36)求得k=2.4,b=0,即y与x之间的函数关系式为y=2.4x.台秤的最大称量为150 kg,即x的取值范围为0≤x≤150.
(3)当体重为多少千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置 当体重为50 kg时,台秤的指针转过的角度是多少度
由y=180°,可得x=75 kg,即当体重为75千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置;由x=50 kg，可得y=120°,即当体重为50 kg时,台秤的指针转过的角度是120°.
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任务二：构建函数模型，解决实际问题
练习:某种弹簧测力计,最大测量力是50 N(牛顿),测量力的大小F(N)与弹簧伸长的长度L(cm)有如下对应数值:
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任务二：构建函数模型，解决实际问题
(1)请在平面直角坐标系中,分别以上表中的每对对应数值为横坐标(F)和纵坐标(L),描点连线,画出图象.
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任务二：构建函数模型，解决实际问题
(2)求L与F之间的函数关系式,并指出自变量F的取值范围.
函数关系式为L=0.4F,F的取值范围是0≤F≤50.
(3)当弹簧伸长的长度为22 cm时,所测量的力是多少牛顿 当测量的力为30 N时,弹簧伸长的长度是多少厘米
当弹簧伸长的长度为22 cm时,有22=0.4×F,解得F=55;当测量的力为30 N时,有L=0.4×30=12,即弹簧伸长的长度是12 cm.
课堂评价
1.某农场使用抽水机为农田灌溉,抽水量Q(m3)与抽水时间s(min)的对应数据如下表,试写出Q与s之间的函数关系式,并求抽水15 h的抽水量(1 h=60 min).
观察表中数据特征易知Q与s成正比例关系,设Q=ks,有20×k=800,所以k=40,得Q=40 s;15 h=900 min,当s=900时,Q=40×900=36 000.即抽水15 h的抽水量为36 000 m3.
课堂评价
2.一个长方形的长、宽分别为60和40.现将它的宽减少10,长增加x.设变化后的长方形的面积为y.
(1)写出y与x之间的函数关系式.
由题意可知y=(60+x)×(40-10),整理得y=30x+1 800.
(2)当x取何值时,变化后的长方形与原来的长方形的面积相等
由题意可得方程30x+1 800=60×40,解得x=20.
(3)当x取哪些值时,可以使变化后的长方形的面积比原来的长方形面积的2倍还要大
由题意可得不等式30x+1 800>2×60×40,解得x>100.
课堂评价
解：
课堂总结
提问:回顾本节课解决问题的过程,你能总结出用一次函数解决实际问题的步骤吗
找变量—找数量关系—写表达式—定自变量范围—解决问题—验证结果.
追问:在这个过程中,我们用到了哪些数学思想
数形结合思想和建模思想.
作业设计
基础性作业:教材练习第1,2题;教材习题第2题.
提高性作业:教材习题第3,4题.
拓展性作业:观察家里的电费缴费单(或水费缴费单),记录用电量(或用水量)与缴费金额的对应数据,尝试建立函数关系式,并计算“每月用电200千瓦·时的电费”.
第二十章 一次函数
20.4 一次函数的应用
第2课时　一次函数的应用（2）
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思路一
问题1:同学们,当我们坐飞机出行时经常需要托运行李,机场会根据行李的质量来收取相应的费用.请大家观察下图,它描述了哪两个量之间的关系 你能判断出哪个量是主动变化的,哪个量是随之变化的吗
图象描述的是托运行李的质量x(kg)与托运行李的费用y(元)之间的函数关系,其中行李质量x是自变量,托运费用y是随之变化的量.
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思路一
问题2:从图象中可以看出,当行李超重时,托运费用y随着行李质量x的变化而均匀变化,图象的形状有什么显著特征 我们之前学过哪种函数可以表示这种关系
图象是一条“上升的直线”,由此判断出两个变量之间的关系是一次函数关系.
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思路一
从图象中识别出一次函数关系,接下来我们可以求出函数表达式,并利用它来解决教材做一做栏目中的实际问题.从实际问题出发,建立数学模型,并应用模型解决问题——这正是数学建模的过程.今天这节课,我们继续学习如何利用一次函数模型解决实际问题.
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思路二
问题1:同学们,小明同学外出旅行时,在机场办理托运行李的手续,请你打开行李托运费用计算网页,拖动滑块调整行李质量的大小,观察托运费用的变化,说一说这两个量之间的关系可以用哪种类型的函数来表示
20.4.2行李托运费用计算游戏网页.html
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思路二
问题2:请你求出y与x之间的函数关系式,并确定该航班可以免费携带行李的质量是多少千克.
运用待定系数法将图象上的两个点(40,400)与(50,600)的坐标代入y=kx+b中,求出函数表达式为y=20x-400(x≥20).
免费携带行李即y=0,求出x=20,也就是图象与x轴交点(20,0)的实际含义.
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思路二
刚刚我们从托运行李费用问题中抽象出一次函数模型,运用待定系数法求出函数表达式,并利用它来解决实际问题,这就是一个数学建模过程.今天这节课,我们就来继续学习如何利用一次函数模型解决实际问题.
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任务一：抽象模型—从实际问题中抽象出一次函数模型
例 一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻,在公路旁的某加油站加满油后,以40 km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后,油箱内的余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的函数关系图象是图中的直线l的一部分(如图).
问题1:请同学们用圈出题目中的已知条件和关键词句,说出题目中有哪些量
常量:速度40 km/h；两个变量:余油量y和行驶时间x.
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任务一：抽象模型—从实际问题中抽象出一次函数模型
问题2:打开森林警车油量变化函数图象网页,拖动滑块调整行驶时间x,观察画面中油箱中余油量y的变化过程,你能判断出哪个量是自变量,哪个量是自变量的函数吗 请你结合图中的信息说一说,这两个量之间的关系可以用哪种类型的函数来表示
20.4.2森林警车巡逻油量变化模拟网页.html
行驶时间x是自变量,余油量y是自变量的函数,根据图象特征可知两者之间是一次函数关系.
归纳:例题中余油量y随着行驶时间x的增加而减少,像这样一个量随着另一个量均匀变化可以用一次函数来表示.
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任务二：求解模型——运用待定系数法确定函数表达式
问题1:已知一次函数图象上两个点的坐标,可以运用待定系数法确定函数表达式,你能扮演老师的角色,为大家总结归纳运用待定系数法求一次函数表达式的步骤吗
求一次函数表达式的基本步骤：
第一步:设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0);
第二步:将已知的两组对应值代入表达式,得到关于k,b的二元一次方程组;
第三步:解二元一次方程组,求出k,b的值;
第四步:将k,b的值代回所设的表达式,求出一次函数表达式.
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任务二：求解模型——运用待定系数法确定函数表达式
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任务二：求解模型——运用待定系数法确定函数表达式
问题3:说一说,你的答案和这位同学的做法一样吗 还有需要补充的地方吗
提示:拖动滑块定格函数图象分别与y轴和x轴相交于(0,60)和(15,0),根据已知条件可以判断该函数图象为线段,与坐标轴的两个交点是图象的两个端点,x的取值范围为0≤x≤15.
温馨提示:由实际问题得到的一次函数表达式,需要注意考虑实际问题情境限制,明确自变量的取值范围.
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任务三：应用模型——运用一次函数模型解决实际问题
问题1:(1)警车加满油时,油箱中的油量是多少升
思路分析:(1)警车加满油时,行驶时间x=0,代入函数表达式中计算出y的值,即可得到油箱中的油量.注意数形结合思想的应用,在函数图象中可以看出该组对应值是函数图象与y轴的交点.
解:(1)当x=0时,代入函数表达式,得y=-4×0+60=60,
所以,警车加满油时,油箱中的油量是60 L.
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任务三：应用模型——运用一次函数模型解决实际问题
问题1:(2)警车加满油后,在巡逻过程中若将油全部消耗,最长行驶时间是多少
思路分析:(2)警车将油全部消耗时,余油量y=0,首先代入函数表达式中求出行驶时间x,该组对应值是函数图象与x轴的交点.
解：(2)当y=0时,代入函数表达式,得0=-4x+60,解得x=15,
所以,警车若将油全部消耗,最长行驶时间为15 h.
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任务三：应用模型——运用一次函数模型解决实际问题
问题1:(3)已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于10 L,则其巡逻的最远路程是多少千米
思路分析:(3)警车返回时余油量不少于10 L,则往返的总耗油量小于初始油量60 L减去余油量10 L,即小于50 L.由于往返耗油量相同,单程耗油量为总耗油量的一半,即25 L.当警车行驶到最远点时,已耗油25 L,此时余油量为60-25=35(L).将结果代入函数表达式可以求出行驶时间,进而计算出最远巡逻路程.
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任务三：应用模型——运用一次函数模型解决实际问题
解：(3)往返耗油量:60-10=50(L),
单程耗油量:=25(L),
行驶到最远点时余油量:60-25=35(L).
将y=35代入函数表达式中,得
35=-4x+60,
解得x=6.25.
则最远路程为6.25×40=250(km).
所以,警车巡逻的最远路程是250 km.
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任务三：应用模型——运用一次函数模型解决实际问题
问题2:在例题中,我们发现函数图象与y轴和x轴分别相交,设一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的交点依次为P,Q.请分小组讨论,用k,b表示这两点的坐标,这两点的坐标具有什么特点
对于一次函数y=kx+b(k≠0),其图象与坐标轴的交点坐标及特点如下.
与x轴的交点P:当y=0时,解方程0=kx+b,得x=-,因此,点P的坐标为（-，0）.与y轴的交点Q:当x=0时,代入函数表达式得y=b.因此,点Q的坐标为(0,b).
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任务三：应用模型——运用一次函数模型解决实际问题
点P在x轴上,其纵坐标始终为0;点Q在y轴上,其横坐标始终为0.
温馨提示:在运用一次函数模型解决实际问题的过程中,要明确一次函数图象与x轴、y轴交点的实际意义.
1.某品牌鞋子的长度y与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm,44码鞋子的长度为27 cm,则38码鞋子的长度为 （ ）
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
2.某超市开展国庆节促销活动,店前公告如下:凡是一次性购买3件某种服装,每件售价80元,如超过3件,则其超过部分打8折,顾客所付款y(元)与所购买的件数x(x≥3)之间的函数关系式为_________(x≥
3).
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B
y=64x+48
3.星期天,小明上午8:00从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家.他离家的距离y(千米)与时间t(分)的关系如图所示,则上午8:45小明离家的距离是____千米.
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1.5
课堂总结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容
2.学习了本节课你有何感想 请畅所欲言.
3.请你梳理本课所学,总结利用一次函数模型解决实际问题的步骤.
步骤如下:从实际问题中抽象出一次函数模型—用待定系数法求解该模型—运用模型得出问题结果—为结果赋予实际含义,回归实际问题.
4.结束语:从实际问题到数学,再回归实际问题的循环,正是典型的数学建模过程.希望通过本课的学习,你能逐步掌握用一次函数建模解决实际问题的方法.
作业设计
基础性作业:教材练习第1题;教材习题第1,2题.
提高性作业:教材练习第2题;教材习题第3,4题.
拓展性作业:请你利用生成式人工智能技术,搜集现实世界中运用一次函数模型解决问题的生活实例,设计一个基于实际生活的一次函数问题,并解答它.
第二十章 一次函数
20.4 一次函数的应用
第3课时　一次函数的应用（3）
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思路一
问题:同学们,校园运动会的竞走比赛中,小明和小红同时出发,小明的速度是60米/分,小红的速度是50米/分,出发时小明在小红身后20米处.大家想想,多少分钟后小明能追上小红呢 如果设时间为x分,两人的路程y和时间x的函数关系是怎样的呢
(1)可以用算术方法计算.
(2)建立函数关系式. 小明的路程y1=60x,小红的路程y2=50x+20,然后通过60x=50x+20求解.
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思路二
现在AI智能设备很流行,小华为自己制定了健身计划,AI给出的运动消耗热量y(大卡)与运动时间x(分)的函数关系式是y=8x+20(20是热身消耗的基础热量),小华自己记录的消耗热量与时间的关系式是y=10x.大家觉得多久后,小华自己记录的消耗热量会超过AI规划的呢
画出函数y=8x+20和y=10x图象后,能直观看到图象交点,进而分析出时间节点, 观察交点坐标,结合图象分析“超过”的时间,然后用方程或不等式求解验证.
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任务一：分析追及问题，建立一次函数模型
问题:甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿同一公路与甲同向行驶,速度为25 km/h.
(1)设甲离开出发地的时间为x(h),求甲、乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
提示：路程=速度×时间,乙行驶的时间是(x-3)h.
解:(1)甲的函数关系式为y=10x,自变量x的取值范围为x≥0;乙的函数关系式为y=25(x-3)=25x-75,自变量x的取值范围为x≥3;
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任务一：分析追及问题，建立一次函数模型
问题:甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿同一公路与甲同向行驶,速度为25 km/h.
(2)在同一平面直角坐标系中,画出两个函数的图象,并结合实际问题,解释两图象交点的意义.
解:(2)图象如图所示.两图象交点坐标是(5,50),实际意义是甲出发5 h后被乙追上(或乙出发2 h后追上甲),此时两人距离出发地50 km.
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任务二：数形结合，探究追及问题的延伸与多元解法
问题:对于上述问题中甲、乙行驶的情况,借助图象解释“乙出发多长时间后可以超过甲”这一问题,同时思考其他解答方法.
以下两个方向分组讨论:
方向一:分析函数图象,解释“乙超过甲”的图象特征,结合图象数据计算时间.
方向二:尝试用解一元一次方程、解一元一次不等式的方法解决“乙超过甲”的问题,并对比与函数图象法的联系.
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任务二：数形结合，探究追及问题的延伸与多元解法
思考:从图象角度,“乙超过甲”时两个函数图象的位置关系是怎样的 如何从图中读取时间信息 用方程或不等式解决时,等量关系或不等关系如何建立
结论:
方法一:图象法
从图中可知,两函数图象交点坐标是(5,50),表示甲出发5h后被乙追上,乙出发时间为5-3=2(h),当时间超过2 h后,乙的函数图象在甲的上方,说明乙出发2 h后可以超过甲.
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任务二：数形结合，探究追及问题的延伸与多元解法
方法二:方程法(先求追上时间,再分析超过的情况)
设乙出发th后超过甲,此时甲出发的时间为(t+3)h.当乙超过甲时,乙的路程大于甲的路程,即25t>10(t+3).先解方程25t=10(t+3), 25t=10t+ 30,15t=30,t=2.所以当t>2时,25t>10(t+3),即乙出发2 h后可以超过甲.
方法三:不等式法
设乙出发th后超过甲,甲的路程为y甲=10(t+3),乙的路程为y乙=25t.
根据“乙超过甲”可得不等式25t>10(t+3),25t>10t+30,15t>30,t>2.所以乙出发2 h后可以超过甲.
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任务三：解决租赁方案选择问题，对比一次函数应用
问题:某电脑工程师张先生租房问题,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3 000元;乙家未装修,每月租金为2 000元,但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.
(1)设租用时间为x个月,承租房屋所付租金为y元,分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式.
解:(1)甲的函数关系式为y=3 000x.乙的函数关系式为y=2 000x+ 40 000.
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任务三：解决租赁方案选择问题，对比一次函数应用
(2)根据求出的两个函数表达式,试判断租用哪家的房屋更合算.
解:(2)方法一:
①由3 000x=2 000x+40 000,解得x=40.
即当租用40个月时,无论是租用哪一家,租金都相同.
②由3 000x>2 000x+40 000,解得x>40.
即当租用时间超过40个月时,租乙家的房屋更合算.
③由3 000x<2 000x+40 000,解得x<40.
即当租用时间少于40个月时,租甲家的房屋更合算.
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任务三：解决租赁方案选择问题，对比一次函数应用
方法二:找到两条直线的交点.
联立y=3 000x和y=2 000x+40 000,求得交点为(40,120 000)(即租用40个月时,两家租金均为120 000元).
如图,观察图象:
当x<40时,甲的直线在乙的直线下方(甲的租金更低),租甲家更合算;当x=40时,两条直线相交(两家租金相同);当x>40时,甲的直线在乙的直线上方(乙的租金更低),租乙家更合算.
1.A,B两地之间的路程为36 km,甲、乙两人分别从A地和B地同时出发,相向而行,他们距A地的路程s(km)和出发后的时间t(h)之间的函数关系如图所示.
(1)甲行驶了几小时到达B地,乙行驶了几小时到达A地
解:(1)甲行驶4.5小时到达B地,乙行驶6小时到达A地.
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(2)分别写出甲、乙两人距A地的路程s与时间t之间的函数关系式.
解:(2)甲:s=8t;乙:s=-6t+36.
(3)求两个图象交点的坐标,并解释交点坐标所表示的实际意义.
解:(3)交点坐标为（,）,实际意义是出发小时后,甲、乙两人相遇,此时距A地 km.
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2.某学校无人机科研小组对甲、乙两架无人机进行飞行实验,两架无人机从不同的高度同时起飞,匀速上升,当上升5 s时,两架无人机的高度相同,两架无人机上升高度y(m)与上升时间x(s)之间的函数关系如图所示.
(1)分别求甲、乙两架无人机的上升高度y与上升时间x之间的函数关系式.
解:(1)甲:y=6x+30;乙:y=12x.
(2)上升多长时间时,甲无人机比乙无人机高24 m
解:(2)由6x+30-12x=24,解得x=1,即上升1 s时,甲无人机比乙无人机高24 m.
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解：
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(2)该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋,且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍,则该超市应怎样进货才能使总费用最低
解:(2)设超市购进B种品牌的粽子m袋,A种品牌的粽子(300-m)袋,总费用为W元.依题意,得W=25(300-m)+30m=5m+7 500.
∵5>0,∴W随m的增大而增大.
∵300-m≤2m,∴m≥100.
∴当m=100时,W有最小值.
此时购进B种品牌粽子100袋,A种品牌粽子200袋,W=5×100+7 500= 8 000(元).
答:购进B种品牌粽子100袋,A种品牌粽子200袋,能使总费用最低.
课堂总结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容
2.学习了本节课你有何感想 请畅所欲言.
作业设计
基础性作业:教材练习第1题;教材习题第1题.
提高性作业:教材习题第3,4题.

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