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(共20张PPT)
第二十章 一次函数
20.5 一次函数与二元一次方程的关系
导入新课
思路一
问题:已知两个数的和是1,你能用一个式子表示出这两个数之间的关系吗
设一个数是x,另一个数是y,则x+y=1.
追问:这是一个什么式子
二元一次方程.
导入新课
思路一
追问:你能用含x的式子表示y吗
y=-x+1.
追问:y与x之间有什么关系
y是x的一次函数.
二元一次方程x+y=1与一次函数y=-x+1有怎样的关系呢
导入新课
思路二
数学王国搞了个家庭聚会,各个成员按照自己所在的集合就坐,这时“x+y=1”进来了.
“二元一次方程”说:“到我这来.”
“一次函数”说:“到我这来.”
“x+y=1”糊涂了,我到底该去哪呢
导入新课
思路二
说一说“x+y=1”是一次函数还是二元一次方程呢
追问:是不是所有的二元一次方程都可以转化为一次函数 你能再写一个二元一次方程,并把它转化为一次函数吗
归纳:任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数,所以每一个二元一次方程都对应一个一次函数.
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活动一：探究一次函数与二元一次方程的关系
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活动一：探究一次函数与二元一次方程的关系
问题3:将你写出的方程的解转化成坐标的形式,然后在平面直角坐标系中分别描出表示这些坐标的点,并判断它们是否在一次函数的图象上.
这些点在同一条直线y=-x+1上.
理由:当x=1时,y=-1+1=0,
∴点(1,0)在直线y=-x+1上.
同理可验证其他点也在直线y=-x+1上.
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活动一：探究一次函数与二元一次方程的关系
追问:若 是二元一次方程x+y=1的一组解,则坐标为(a,b)的点在一次函数y=-x+1的图象上吗
结论:坐标为(a,b)的点在一次函数y=-x+1的图象上.
x=a,
y=b
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活动一：探究一次函数与二元一次方程的关系
问题4:在一次函数y=-x+1的图象上任取一点,它的坐标(x,y)适合方程x+y=1吗
结论:这些点的坐标都适合方程.
x=a,
y=b
追问:若点P(a,b)在一次函数y=-x+1的图象上,则 是二元一次方程x+y=1的解吗
x=a,
y=b
结论: 是二元一次方程的解.
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活动一：探究一次函数与二元一次方程的关系
问题5:通过上面的问题,你发现了什么
归纳:以二元一次方程x+y=1的解为坐标的点都在一次函数y=-x+1的图象上;反过来,一次函数图象上点的坐标都是二元一次方程的解.
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活动一：探究一次函数与二元一次方程的关系
问题6:你们认为一次函数和二元一次方程有什么联系
总结:事实上,我们把二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)变形为y= -x+后,原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式.
当x,y表示未知数时,ax+by=c就是二元一次方程;当x,y表示变量时,y=-x+就是一次函数,且有如下结论:
以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数图象上,反过来,一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解.
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活动二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
例 已知直线l1:y=-x+3和直线l2:y=x-2.
(1)在同一平面直角坐标系中,画出直线l1和l2的图象.
(2)若直线l1和直线l2相交于点P,求点P的坐标.
提问:画一次函数图象常用什么方法
两点法,找和坐标轴的交点或者整数点,再描点连线.
提问:求两条直线的交点P,交点坐标和函数表达式有什么关系
交点坐标同时满足两条直线对应的函数表达式,所以联立方程组求解就行.
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活动二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
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活动二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
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活动二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
总结:两个一次函数的图象的交点坐标是与它们对应的二元一次方程组的解;反过来,以二元一次方程组的解为坐标的点是与它对应的两个一次函数图象的交点.
二元一次方程组的解 两条直线交点的坐标
课堂评价
(11,4)
图略.
无数
y=-x+4
课堂评价
(2)不等式3x-2>2x+3的解集.
(2)根据图象可知:不等式3x-2>2x+3的解集为x>5.
课堂总结
1.我们今天建立的最核心的联系是什么
2.当问题从一个方程变为一个方程组时,这种联系又如何延伸
3.我们发现了方程组解的“数量”在图象上有什么神奇的规律
4.本节课我们运用了哪种最重要的数学思想
课堂总结
作业设计
基础性作业:教材习题第1,2题.
提高性作业:教材习题第3~5题.

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