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第二十章 一次函数
本章复习课
回顾与反思
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环节一：复习回顾
第一部分:
1.从生活实际到数学抽象,我们得到正比例函数和一次函数表达式,结合具体情境体会正比例函数和一次函数的意义,理解一次函数的概念.
2.在不同的问题情境下确定函数表达式,可以用直接列式法和待定系数法.
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环节一：复习回顾
3.经历列表、描点、连线绘制一次函数图象的过程,观察函数图象,总结性质,渗透数形结合的数学思想,培养几何直观.
4.经历通过真实的问题情境进行探究性学习的过程,进一步体会建构数学模型的方法和作用,提高综合运用函数知识分析问题和解决问题的能力,发展模型观念、应用意识、创新能力.
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环节一：复习回顾
第二部分:
1.一次函数、方程、不等式关系密切:求一次函数与x轴的交点,就是在解一元一次方程;看一次函数的图象在x轴上方还是下方,就是解一元一次不等式;求两条直线的交点,就是解二元一次方程组.
2.一次函数是最简单的函数模型,具有基础性和典型性的特点,本章对一次函数的研究可以体会函数研究的一般方法;由其衍生出的、与其他函数结合的综合性问题,历来是中考考查的重点与高频考点.
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环节一：复习回顾
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环节二：例题解析
A
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环节二：例题解析
解析 本题亮点在于一次函数的系数m和n与正比例函数的系数mn直接相关,因此需要综合判断两个函数的图象特征是否一致.
A选项:一次函数图象经过第一、第二、第四象限,从左到右下降,与y轴交于正半轴,这表明一次函数的系数m<0,n>0.正比例函数图象经过第二、第四象限,从左到右下降,这表明正比例函数的系数mn<0.由于m<0且n>0,则mn<0,两个函数的图象特征一致,因此A选项是可能的.
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环节二：例题解析
B选项:一次函数图象特征与A选项相同,即m<0,n>0.正比例函数图象从左到右上升,经过第一、第三象限,这表明mn>0.由于一次函数m<0,n>0,则mn<0,与正比例函数mn>0矛盾.因此B选项不可能.
C选项:一次函数图象经过第一、第二、第三象限,从左到右上升,与y轴交于正半轴,这表明m>0,n>0.正比例函数图象从左到右下降,经过第二、第四象限,这表明mn<0.由于一次函数m>0,n>0,则mn>0,与正比例函数mn<0矛盾.因此C选项不可能.
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环节二：例题解析
D选项:一次函数图象经过第一、第三、第四象限,从左到右上升,这表明m>0,n<0.正比例函数图象经过第一、第三象限,从左到右上升,这表明mn>0.由于一次函数m>0,n<0,则mn<0,与正比例函数mn>0矛盾.因此D选项不可能.综上,只有A选项是成立的.
方法总结:分析一次函数和正比例函数的图象是否可以在同一平面直角坐标系和谐共生,需要根据图象特征判断系数的符号,并确保两个函数的系数中所含字母的符号保持一致,高效排除错误选项,确保答案的正确性.
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环节二：例题解析
例2 关于一次函数y=-4x+8,下列结论不正确的是 ( )
A.y随x的增大而减小
B.图象与y轴的交点坐标是(0,8)
C.图象经过第一、第二、第四象限
D.图象与x轴的交点坐标是(-2,0)
D
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环节二：例题解析
解析 A.由k=-4<0,利用一次函数的性质,可得出y随x的增大而减小,故选项A不符合题意;B.利用一次函数图象上点的坐标的特征,把x=0代入函数表达式,可求出一次函数y=-4x+8的图象与y轴的交点是(0,8),故选项B不符合题意;C.由k=-4<0,b=8>0,利用一次函数图象与k,b的关系,可得出一次函数y=-4x+8的图象经过第一、第二、第四象限,故选项C不符合题意;D.利用一次函数图象上点的坐标的特征,可求出一次函数y=-4x+8的图象与x轴的交点是(2,0),故选项D符合题意.
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环节二：例题解析
方法总结:A.k>0时,y随x的增大而增大;k<0时,y随x的增大而减小.B.把x=0代入一次函数表达式,可求出一次函数图象与y轴的交点的纵坐标.C.k>0,b>0时,图象经过第一、第二、第三象限;k>0,b<0时,图象经过第一、第三、第四象限;k<0,b>0时,图象经过第一、第二、第四象限;k<0,b<0时,图象经过第二、第三、第四象限.D.把y=0代入一次函数表达式,可求出一次函数图象与x轴的交点的横坐标.
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环节二：例题解析
例3 若点A(x1,-1),B(x2,-2),C(x3,3)在一次函数y=-2x+m(m是常数)的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 ( )
A.x1>x2>x3 B.x2>x1>x3 C.x1>x3> x2 D.x3>x2>x1
解析 由一次函数的性质可知k=-2<0,y随x的增大而减小,即y值越大,相应x值反而越小.由此可先比较三点的纵坐标的大小,进而得出横坐标的大小关系,从而求解;也可借助图象,数形结合分析此类问题.
方法总结:一次函数y=-2x+m(m是常数)中,k=-2<0,∴y随x的增大而减小.∵A(x1,-1),B(x2,-2),C(x3,3),∴-2<-1<3,∴x2>x1>x3.
B
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环节二：例题解析
例4 如图1,在长方形ABCD中,动点P从点B出发,沿长方形的边由B→C→D→A运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,把y看作x的函数,函数的图象如图2所示,则△ABC的面积为 ( )
A.10 B.16 C.18 D.20
A
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环节二：例题解析
解析 对照图1分析图2,函数图象分为三段:第一段(上升段):对应点P在BC边上运动,△ABP的面积y随x增大而增大,x=4时△ABP面积最大,可知长方形的宽BC=4;第二段(水平段):对应点P在CD边上运动,点P到AB的距离等于BC的长度,所以此阶段△ABP的面积y保持不变,点P运动路程从4到9,∴CD=AB=5;第三段(下降段):点P在DA边上运动,△ABP的面积y随x增大而减小至0.根据图象结合题目可得长方形的长AB=9-4=5,宽BC=4,∴长方形的面积等于20,∴△ABC的面积是10.
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环节二：例题解析
例5 如图,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则关于x的不等式kx+6>x+b的解集是_____.
x<3
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环节二：例题解析
解析 两条直线的交点P(3,5)是解题的关键点.观察函数图象可以看出:在交点P左侧(即x<3的区域),直线y=kx+6位于直线y=x+b的上方;在交点P处(x=3),两直线相交,此时函数值相等;在交点P右侧(即x>3的区域),直线y=x+b位于直线y=kx+6的上方.由于不等式kx+6 >x+b表示的是直线y=kx+6在直线y=x+b上方的部分,因此对应的x的范围应该是x<3.
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环节二：例题解析
方法总结:此类利用函数图象求解不等式的问题体现数形结合思想,从式子角度看,不等式kx+6 >x+b实际上就是在比较两个一次函数值的大小;从图形角度看就是两条直线的上下位置关系.函数值大对应图象在上方.首先确定两条直线的交点坐标,这是函数值相等的点,也是图象上下关系发生变化的转折点;观察交点左右两侧哪条直线在上方,在上方的直线对应的函数值较大.
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环节二：例题解析
-6
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环节二：例题解析
-27高效课堂
环节二：例题解析
方法总结:本题特点是通过消去参数发现“好点”轨迹为一条直线,将抽象定义转化为具体的几何关系,体现了方程与函数图象的内在联系.解决此类“好点”问题的三个步骤:明确“好点”的生成方式,识别关键参数;通过消去参数,找出“好点”的特征;将几何条件转化为方程或不等式,求解参数取值范围.
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环节二：例题解析
例7 如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=-x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线l2经过点A,与y轴交于点C(0,-4).
(1)求直线l2的表达式.
(1)把y=0代入y=-x+2,可得直线l1与x轴交点A的坐标为(2,0).根据题意,由待定系数法可得直线l2表达式为y=2x-4.
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环节二：例题解析
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环节二：例题解析
方法总结:本题亮点是通过坐标面积公式将几何面积问题转化为代数方程问题,体现数形结合的思想.在动点问题中,设参、解绝对值方程是常见方法,但需注意多解情况.教学时,建议引导学生画图直观理解点的位置和三角形形状,强化代数与几何的联系.通过此类练习,提升参数设定和方程求解的能力,渗透数形结合、分类讨论的数学思想,发展几何直观,推理能力、运算能力.
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环节二：例题解析
例8 某电信公司推出A,B两种收费方式.A方式:无月租,通话费用0.3元/分;B方式:月租费15元,通话费用0.1元/分.
(1)分别写出A,B两种方式的费用y(元)与通话时间x(分)之间的函数关系式.
解析 本题需要解决两个问题:首先是将实际问题转化为数学问题,建立函数模型;其次是运用数学方法求解模型,找出最优方案.
(1)A方式:y=0.3x.B方式:y=0.1x+15.
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环节二：例题解析
(2)请向客户推荐一种更省钱的收费方式.
解析 (2)分析两种收费方式,结合生活经验,发现存在某一时间节点,两种收费方式费用相同.可列方程:0.3x=0.1x+15,解得x=75.借助函数图象或代数推理可向客户推荐更省钱的收费方式.
(2)当通话时间小于75分钟时,推荐A方式更省钱;当通话时间等于75分钟时,两种方式费用相等;当通话时间大于75分钟时,推荐B方式更省钱.
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环节二：例题解析
方法总结:运用一次函数解决实际生活中的方案选择问题,关键在于通过建立函数模型准确描述费用规律,运用方程思想找到决策临界点,再借助函数图象或代数推理等方法选择最优化解决方案.这种将实际问题数学化的方法,培养了学生的建模能力和应用意识,体现了数学的实用价值.
课堂总结
1.你对本章知识点有了哪些新的认识
2.你弄懂了哪些之前不太清楚的知识
3.在本节课中你学到了哪些思想方法
作业设计
基础性作业:教材复习题第1~7题.
提高性作业:教材复习题第8~12题.

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