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第二十章 一次函数
20.2 一次函数的图象和性质
第1课时　一次函数的图象
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思路一
一次函数y=2x-1的图象是一条直线,但是这是AI直接告诉我们的答案,我们该相信它吗
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思路一
作图时，将满足函数表达式的点一个一个地精确标记在坐标系中,再连线.就得到了一次函数y=2x-1的图象.
问题:这些点开始是离散的,但是随着点越来越多,点呈现出什么样的排列规律
函数图象是由无数个满足函数表达式的点组成的.今天,我们就要学习如何通过关键的点,来捕捉这条神秘的线!
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思路二
情境:如图所示,今有一根弹簧,不悬挂重物时的长度为12 cm,悬挂的重物每增加1 kg(重物不超过8 kg),弹簧的长度就增加0.5 cm.写出弹簧长度y(cm)与悬挂物的质量x(kg)之间的函数关系式.
y与x之间的函数关系式为y=0.5x+12(0≤x≤8).
提示:要注意自变量的取值范围.
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思路二
上述所列y与x之间的函数关系式是什么函数 你能结合它的图象说明弹簧长度和悬挂物质量之间的关系吗
y与x之间的函数关系式为一次函数, 函数图象能反映变量之间的关系.
高效课堂
活动一：动手操作，展示交流
问题:已知一次函数y=2x-1,请完成以下问题.
(1)填写下表:
-7
-5
-3
-1
1
3
5
高效课堂
活动一：动手操作，展示交流
(2)在网格纸中建立合适的平面直角坐标系,并在直角坐标系中描出以(1)中的每对对应值为坐标的点.
高效课堂
活动一：动手操作，展示交流
跟踪评价:已知一次函数y=-x+2,按照上述画图的步骤在网格纸中画出它的图象.
高效课堂
活动二：操作探究
回答下列问题.
(1)一次函数的图象和形状是怎样的
一次函数的图象是一条直线.
高效课堂
活动二：操作探究
回答下列问题.
(2)凡是满足关系式y=2x-1或y=-x+2的x,y的值所对应的点,都分别在一次函数y=2x-1或y=-x+2的图象上吗 那利用作图工具画出的一次函数图象是否也存在这种情况呢
(3)在所画的一次函数图象上任取一点,其对应的坐标是否满足相应函数表达式
结论:一般地,一次函数y=kx+b的图象为一条直线,因此,我们把一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
高效课堂
活动三：典例精讲，应用新知
提问:一次函数图象是一条直线,那我们画一次函数图象有没有更简便方法
结论:一次函数图象是直线, 由“两点能确定一条直线”可知, 画一次函数图象只需要确定两个点,再经过这两个点画一条直线即可.
高效课堂
活动三：典例精讲，应用新知
例 画一次函数y=-x+1的图象.
提示:利用“两点法”作图时, 两点坐标的数值带入表达式中计算时越简单,描点越方便.
解:当x=0时,y=1.
当y=0时,0=-x+1,解得x=2.
在直角坐标系中,过点(0,1)和(2,0)画直线,
即得一次函数y=-x+1的图象,如图所示.
高效课堂
活动三：典例精讲，应用新知
跟踪评价:已知一次函数y=-2x+4.
(1)使用两点法画出该函数的图象.
(2)该图象与x轴、y轴的交点A,B,并求出此函数图象与坐标轴所围成的△AOB(其中O为坐标原点)的面积.
解： (1)当x=0时,y=4;当y=0时,0=-2x+4,解得x=2.
在直角坐标系中,过点(0,1)和(2,0)画直线,即得一次函数y=-2x+4的图象.
高效课堂
活动三：典例精讲，应用新知
(2)△AOB的面积为OA·OB=4×2=4.
高效课堂
活动四：学以致用
回顾课前问题,独立完成:
今有一根弹簧,不悬挂重物时的长度为12 cm,悬挂的重物每增加 1 kg(重物不超过8 kg),弹簧的长度就增加0.5 cm.写出弹簧长度y(cm)和悬挂物的质量x(kg)之间的函数关系式,指出自变量的取值范围,并画出这个函数的图象.
解:y=0.5x+12(0≤x≤8).函数图象如图所示.
1.已知函数y=(m+1)x+2m-6的图象过(-1,2),则此函数的表达式为__________.
2.在同一平面直角坐标系中，画出y=-3x和y=3x的图象.
课堂评价
y=10x+12
y=-3x
y=3x
课堂评价
3.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象.
(1)y=2x; (2)y=2x十5; (3)y=2x-5.
y=2x
y=2x+5
y=2x-5
课堂总结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容
2.学习了本节课你有何感想 请畅所欲言.
3.本节课你认为哪位同学的表现最值得你学习 为什么
作业设计
基础性作业:教材习题第1~3题.
拓展性作业:使用“两点法”或者作图工具,在同一坐标系中分别画出以下两组函数图象,仔细观察,你能发现k(系数)和b(常数项)是如何影响一次函数图象的吗 尝试用自己的语言
写下你的发现.
第一组:y=3x,y=3x+1,y=3x+2,y=3x-1,y=3x-2.
第二组:y=x+2,y=2x+2,y=-x+2,y=-2x+2.
第二十章 一次函数
20.2 一次函数的图象和性质
第2课时　一次函数的性质
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思路一
问题1:同学们,之前我们学习了一次函数的概念,请同学们看下面的函数,哪些是一次函数 如果是一次函数,你能指出k和b的值吗
(1)y=0.6x+π;(2)y=2-3x;(3)y=x+;(4)y=πx.
(1)是一次函数,k=0.6，b=π.
(2)是一次函数,k=-3，b=2.
(3)不是一次函数.
(4)是一次函数,k=π，b=0.
导入新课
思路一
问题2:掌握了一次函数的概念之后,我们又学习了一次函数的图象的画法,一般我们用什么方法画出一次函数的图象呢
用两点法画出一次函数的图象.
提问:如何取一次函数图象上的两点来作图呢
一般情况下取x=0和y=0时对应的两个点.
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思路二
导入新课
思路二
小琪带20元去文具店买本子和笔.已知每支笔2元,每个本子0.5元.她计划买x支笔,剩余的钱买y个本子,写出y与x之间的函数关系式,并画出图象.
y=40-4x.
提示:注意x取整数且有范围限制，故x取1，2，3，4，5.
当小琪买3至5支笔时,她最多能买多少个本子呢 让我们通过今天的学习来寻找解决问题的方法吧.
高效课堂
任务1:请在教材图20.2-4所示的平面直角坐标系中,画出一次函数y=2x+3和y=x-2的图象.请同学们观察,这两个图象有什么共同点
活动一：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，k>0和k<0时
图象变化情况
y=2x+3
y=x-2
高效课堂
任务2:请在教材图20.2-5所示的平面直角坐标系中,画出一次函数y=-2x+4和y=-x+2的图象.请同学们观察,这两个图象有什么共同点
活动一：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，k>0和k<0时
图象变化情况
y=-2x+4
y=x+2
高效课堂
活动一：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，k>0和k<0时
图象变化情况
任务3:四人为一组进行小组讨论
结论:y=2x+3和y=x-2的图象自左向右呈上升的趋势,y=-2x+4和y=-x+2的图象自左向右呈下降的趋势.
高效课堂
任务4:用数学语言描述y的值随x的值的增大而如何变化
函数y=2x+3和y=x-2的图象自左向右呈上升的趋势,y的值随x的值的增大而增大;函数y=-2x+4和y=-x+2的图象自左向右呈下降的趋势,y的值随x的值的增大而减小.
活动一：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，k>0和k<0时
图象变化情况
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问题:y的值随x的值的增大而增大和y的值随x的值的增大而减小的两种函数,它们的区别和自变量系数的符号有怎样的关系
规律：一般地,我们有:对于一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),当k>0时,y的值随x的值的增大而增大;当k<0时,y的值随x的值的增大而减小.
活动一：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，k>0和k<0时
图象变化情况
高效课堂
例1 已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+3.当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而减小
解:当2k-1<0时,y的值随x的值的增大而减小.
解2k-1<0,得k<.
活动一：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，k>0和k<0时
图象变化情况
高效课堂
练习:判断下列函数中,y的值随x的值的增大而变化的情况.
(1)y=-3x+3;(2)y=3x-3;(3)y=(3-π)x;(4)y=0.5x.
解析 根据一次函数y=kx+b(k≠0)中,k>0和k<0时图象的变化情况给出正确解答.
解：函数(2)(4)中,y的值随x的值的增大而增大;函数(1)(3)中,y的值随x的值的增大而减小.
活动一：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，k>0和k<0时
图象变化情况
高效课堂
活动二：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，b>0和b<0时
图象与y轴交点的位置关系
继续观察函数y=2x+3,y=x-2,y=-2x+4,y=-x+2的图象,请各小组看下面的问题.
问题1:哪些函数的图象与y轴的交点在x轴的上方,哪些函数的图象与y轴的交点在x轴的下方
y=2x+3, y=-2x+4,y=-x+2的图象与y轴的交点在x轴的上方;y=x-2的图象与y轴的交点在x轴的下方.
高效课堂
活动二：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，b>0和b<0时
图象与y轴交点的位置关系
问题2:函数的图象与y轴的交点在x轴的上方,和函数的图象与y轴的交点在x轴的下方,这两种函数它们的区别与常数项有怎样的关系
y=2x+3, y=-2x+4,y=-x+2的常数项为正，图象与y轴的交点在x轴的上方; y=x-2的常数项为负，图象与y轴的交点在x轴的下方.
问题3:正比例函数的图象一定经过哪个点
正比例函数图象一定经过(0,0)点.
高效课堂
结论:一次函数y=kx+b(k≠0)中,图象与y轴交点的位置关系:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过y轴上的点(0,b)的一条直线,当b>0时,点(0,b)在x轴上方;当b<0时,点(0,b)在x轴下方;当b=0时,(0,0)是原点,即正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线.
活动二：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，b>0和b<0时
图象与y轴交点的位置关系
高效课堂
例2 已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1).
(1)当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而增大
(2)当k取何值时,函数的图象经过原点
解:(1)当2k-1>0时,y的值随x的值的增大而增大.解2k-1>0,得k>.所以,当k>时,函数y的值随x的值的增大而增大.
(2)当2k+1=0,即k=-时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图象经过原点.
活动二：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，b>0和b<0时
图象与y轴交点的位置关系
高效课堂
例2 已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1).
(3)当k满足什么条件时,函数的图象与y轴的交点在x轴的下方
(3)解析 当2k+1<0时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图象与y轴的交点在x轴的下方.
解：2k+1<0,得k<-.所以,当k<-时,函数的图象与y轴的交点在x轴的下方.
活动二：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，b>0和b<0时
图象与y轴交点的位置关系
高效课堂
练习:说出下列函数与y轴的交点坐标,以及交点在x轴的上方还是下方
(1)y=-3x+3;(2)y=3x-3;(3)y=(3-π)x;(4)y=0.5x.
解析：根据一次函数中b>0和b<0时判断图象与y轴交点的位置情况.
(1)交点坐标(0,3),在x轴的上方；(2)交点坐标(0,-3),在x轴的下方；(3)交点坐标(0,0)；(4)交点坐标(0,0) .
活动二：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，b>0和b<0时
图象与y轴交点的位置关系
高效课堂
练习:小琪带20元去文具店买本子和笔.已知每支笔2元,每个本子0.5元.她计划买x支笔,剩余的钱买y个本子,写出y与x之间的函数关系式,并画出图象.当小琪买3至5支笔时,她最多能买多少个本子呢
解:y=40-4x(x取1，2，3，4，5).画图略.
因为此函数中k=-4<0,所以y的值随x的值的增大而减小,所以当x=3时,y取得最大值,即当x=3时,购买本子的数量最多,最多购买40-4×3=28(本).
活动二：探究一次函数y=kx+b(k≠0)中，b>0和b<0时
图象与y轴交点的位置关系
1.下列函数中,y的值随x值的增大而增大的函数是 ( )
A.y=-2x B.y=2x+1 C.y=-x+2 D.y=-x-2
2.点A(-1,y1),B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点,则y1-y2______0(填“>”或“<”).
3.已知一次函数y=(3m-9)x+1-m的图象与y轴交点在x轴下方,且y随x的增大而减小,其中m为整数,求m的值.
解：根据题意可知3m-9<0且1-m<0,所以1课堂评价
B
>
课堂总结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容
2.结合今天一次函数的性质的学习,谈谈我们经历了怎样的推导过程.
3.结合今天的学习谈谈你的学习感悟,与大家一起分享.
作业设计
基础性作业:教材习题第1~3题.
提高性作业:教材习题第4,5题.
拓展性作业:请搜集身边与一次函数的性质相关的问题,小组内交换解答.

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