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第十九章　函数
19.2　函数
第2课时　自变量的取值范围
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　　思考:对于下面这两个函数,自变量x是不是可以取任意实数 比如,x可以取100,-5,0,……吗
　　(1)y=x+2.
　　(2)y=.
　　(1)式中,x可以取任意实数.
　　(2)式中,当x=0时,会出现“分母为0”的情况,这是无意义的.故此函数的x不可以取任意实数.
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　　对于函数(2),x并不能取所有实数.那么x不能取哪些值 为什么 除了这种分母为0的情况,在我们学过的数学知识里,还有哪些类似的情况呢
　　x不能取0,因为分母为0时分式无意义.平方根下的被开方数不能为负数.
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　　由此可见,每一个函数表达式本身,都隐含着对自变量x的“要求”.我们的任务就是像侦探一样,找出这些隐藏的限制条件,从而准确地确定出自变量x的取值范围.
　　这就是我们本节课要解决的核心问题——函数中自变量的取值范围.
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任务一：探究自变量的取值范围
　　1.使函数表达式有意义的自变量x的取值范围
　　求下列函数中自变量x的取值范围.
　　(1)y=2x+1.
　　(2)y=.
　　(3)y=.
　　讨论:这些函数对x分别有什么要求 为什么
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任务一：探究自变量的取值范围
　　对于函数y=2x+1,自变量x可取全体实数.
　　对于函数y=,分母2x-1≠0,即x≠.所以自变量x的取值范围是x≠的所有实数.
　　对于函数y=,该函数含有二次根式,要求被开方数x+4≥0,解得x≥-4.所以自变量x的取值范围是x≥-4.
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任务一：探究自变量的取值范围
　　自变量的取值范围:
　　整式型函数:自变量取全体实数;
　　分式型函数:分母不为0;
　　二次根式型函数:被开方数非负.
　　建议:强调“溯源”,追溯限制性运算(如除法、开方)的存在,并列出满足运算成立的不等式(组).
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任务一：探究自变量的取值范围
　　2.使实际问题有意义的自变量x的取值范围
　　讨论:在这些问题中,自变量分别可取哪些值 为什么
　　(1)自动售货机1~6月的每月纯收入S(元)是月份n的函数.
　　问题背景是“1~6月”,所以月份n只能取1,2,3,4,5,6这六个正整数.
　　(2)某市某一天的气温T(℃)是时刻t的函数.
　　一天的时间通常从0时开始到24时结束,时刻t是连续变化的量,所以t的取值范围是0≤t≤24.
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任务一：探究自变量的取值范围
　　(3)报告厅内第n排的座位数m是排数n(共30排)的函数.
　　排数n应为正整数,且根据常识,报告厅的排数是有限的(如题目隐含条件n≤30).同时,n应该从1开始计数.所以n的取值范围是1≤n≤30,且n为正整数.
　　确定实际问题的自变量取值范围,不仅要考虑函数表达式本身是否有意义,还必须考虑变量在具体问题情境中的实际意义,如正整数、非负性、范围限制等.
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任务二：知识迁移与运用
　　例　如图,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,边CA与边MN在同一条直线上,点A与点M重合.让△ABC沿MN方向运动,当点A与点N重合时停止运动,试写出运动中两个图形重叠部分的面积y(cm2)与MA的长度x(cm)之
间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
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任务二：知识迁移与运用
　　分析:
　　1.理解模型.
　　△ABC沿MN方向运动,起点是点A与点M重合,终点是点A与点N重合.
　　2.建立函数.
　　运动中不变的是重叠部分始终是等腰
直角三角形.变量是MA的长度x(自变量)和
重叠部分的面积y(函数).关系式为y=x2.
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任务二：知识迁移与运用
　　3.确定范围.
　　这是本题的难点和关键.
　　一检表达式:y=x2本身对任意实数x都有意义.
　　二检实际意义:
　　起点:x=0(A与M重合).
　　终点:x=MN=10(A与N重合).
　　隐含条件:x代表长度,恒有x≥0.
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任务二：知识迁移与运用
　　解:因为等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,
　　所以AC=BC=QM=MN,∠BAC=45°,∠QMN=90°.
　　所以,运动中两个图形的重叠部分也是
等腰直角三角形,
　　由MA=x,得y=x2,0≤x≤10.
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任务二：知识迁移与运用
　　对于实际问题,要进行“双重检验”,一检表达式本身是否总有意义(本题中y=x2对任意实数都有意义).二检变量在实际情境中的实际意义.
　　1.函数y=中,自变量x的取值范围是　　　　　　　　(　　)
　　A.x>1　　　　B.x≥1　　　　C.x≠1　　　　D.x<1
　　2.长方形周长为10 cm,一边长为x cm,面积为y cm2,则y与x的函数关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿,其中自变量x的取值范围是＿＿＿＿.
　　3.某油箱容量40 L的汽车,每行驶100 km耗油10 L,求剩余油量Q(L)与行驶路程s(km)的关系式及s的取值范围.
　　Q=40-0.1s,0≤s≤400.
课堂评价
A
y=x(5-x)=-x2+5x
0课堂总结
　　1.函数自变量取值范围的确定需要考虑哪些因素
　　2.不同类型的函数(整式型、分式型、二次根式型)各有什么限制条件
　　3.函数自变量的取值范围在实际应用中有什么重要意义
作业设计
　　基础性作业:教材练习第1,2题.
　　提高性作业:教材习题第3,4题.
　　拓展性作业:设计一个包含函数关系的生活情境,写出函数表达式及自变量的取值范围.

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