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第8章 四边形
8.3 特殊的平行四边形
第4课时 菱形的判定
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问题1:菱形的边和对角线分别有什么特殊的性质
问题2:根据逆命题的定义,“菱形的四条边都相等”这个性质的逆命题是什么 这个逆命题是真命题吗 为什么
菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直.
逆命题是四条边都相等的四边形是菱形,是真命题.由两组对边分别相等判定四边形是平行四边形,再由一组邻边相等,便可判定该四边形是菱形.
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问题3:“菱形的对角线互相垂直”这个性质的逆命题是什么
问题4:这个逆命题是真命题吗
对角线互相垂直的四边形是菱形.
是假命题.
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环节一：探究菱形的判定定理
问题1:你能证明“四条边都相等的四边形是菱形”吗
已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:因为AB=CD,BC=DA,
所以四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
又因为AB=BC,
所以四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
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菱形的判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.
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问题2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 你能给出证明吗
已知:如图,在 ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O.
求证: ABCD是菱形.
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证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AO=CO(平行四边形的对角线互相平分).
又因为AC⊥BD,
所以∠AOB=∠COB=90°.
在△AOB和△COB中,AO=CO,∠AOB=∠COB,BO=BO,
所以△AOB≌△COB(SAS),
所以AB=BC.
又因为四边形ABCD是平行四边形,
所以 ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
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菱形的判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
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环节二：例题讲解
例 如图,过 ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC,分别交边BC,AD于点E,F,连接AE,CF.
求证:四边形AECF是菱形.
问题1:根据已知条件,要证明四边形AECF是菱形,我们可以选择哪个判定定理
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问题2:如何证明四边形AECF是平行四边形
证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD∥BC.
所以∠FAC=∠ECA,∠AFE=∠CEF.
因为O是AC的中点,
所以OA=OC.
在△AOF与△COE中,∠FAO=∠ECO,∠AFO=∠CEO,OA=OC,
所以△AOF≌△COE(AAS).
所以OF=OE.
所以四边形AECF是平行四边形.
因为AC⊥EF.
所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
课堂评价
1.下列说法中正确的是 ( )
A.有一组邻边相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两边相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D
课堂评价
2.如图,△ABC为等腰三角形,把它沿底边BC翻折后,得到△DBC,那么四边形ABDC为 ( )
A.菱形
B.梯形
C.矩形
D.一般的平行四边形
A
课堂评价
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件后不能判定 ABCD是菱形的是 ( )
A.AC⊥BD
B.AB=BC
C.AC=BD
D.∠1=∠2
C
课堂评价
4.如图, ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AO=4,BO=3.
求证:四边形ABCD是菱形.
因为OA=4,OB=3,AB=5,
所以AB2=OA2+OB2,
所以△AOB是直角三角形,
即AC⊥BD.
又因为四边形ABCD是平行四边形,
所以四边形ABCD是菱形.
课堂总结
通过本节课的学习,你学到了什么 你还有什么疑惑吗
作业设计
基础性作业:教材练习第1题.
提高性作业:教材练习第2,3题.
拓展性作业:取一张矩形纸片,用折叠的方法折出四个顶点都在矩形边上的菱形.有几种不同的折法 画出图形,并说明其中的道理.
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