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1.1 多边形
课时1 多边形及其内角和
1.了解多边形及其有关概念；
2.探索并掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想;
3.经历探索多边形的内角和公式的过程，会应用内角和公式解决问题.
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
思考 为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
内角：多边形相邻两边组成的角
根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角？
顶点
边
n边形有n个顶点，n条边，n个内角．
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.
其中三角形是最简单的多边形.
正多边形的定义：在平面内，边相等，角也都相等的多边形叫做正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
A
B
C
D
E
多边形对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
注意： 线段AC， AD是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.
三角形
六边形
四边形
八边形
……
五边形
探究 请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形
从同一顶点引出的对角线的条数
分割出的三角形的个数
0
1
2
3
5
n-3
1
2
3
4
6
n-2
小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？
5×180°－360°
4×180°－180°
3×180°
六边形的内角和是多少呢？你能确定n边形的内角和吗？（n是大于或等于3的自然数）小组讨论后完成表格.
3×180°
多边形边数 图形 分成三角形的个数 内角和
3
4
5
6
7
… … … …
1
2
3
4
n-2
1×180°
2×180°
(n-2)×180°
4×180°
5×180°
n
5
从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线.
将多边形分成 (n - 2) 个三角形.
n (n≥3) 边形共有对角线 条.
n 边形的内角和等于 (n - 2) ×180°.
多边形的内角和公式：
思考 利用不过顶点分割成三角形的转化法求 n 边形的内角和吗？
如图，在 n 边 A1A2···An 内任取一点 O，连接 OA1，OA2，···，OAn，则 n 边形 A1A2···An 被分成了 n 个三角形.
因此，n 边形的内角和为 n×180°－360°＝(n－2)×180°.
O
360°
A1
A2
A3
A4
A5
An
A6
A7
由于 n 个三角形的内角和为n·180°，且这 n 个三角形有一个共同顶点 O，以 O 为顶点的内角构成了一个周角.
例1 (1) 十边形的内角和是多少度？
(2) 一个多边形的内角和等于 1 980°，它是几边形？
解：(1) 十边形的内角和是
(10－2)×180°＝1440°.
(2) 设这个多边形的边数为 n，则
(n－2)×180°＝1980°，
解得 n＝13.
所以这是一个十三边形.
例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：如图，在四边形 ABCD 中，
∠A +∠C = 180°.
∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
因为
所以∠B +∠D = 360° - (∠A +∠C )
= 360° - 180° = 180°.
A
B
C
D
拓展：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
多边形及其内角和
定义
前提条件是在一个平面内
正多
边形
定义既是判定也是性质
内角和计算公式
(n-2)×180°(n≥3)
1.六边形的内角和为（ ）
A．1260°　　 B．1080° C．900°　 D．720°
2.下列角度中能成为某多边形的内角和的是(　　)
A．270°　　 B．560° C．1 800° D．1 900°
3.正八边形的每个内角都是(　　)
A．60° B．80° C．100° D．135°
C
D
D
4. 九边形的对角线有（ ）
A. 25 条 B. 31 条 C. 27 条 D. 30 条
C
5. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则这是 边形.
十三
6. 过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.
六
7.已知两个多边形的内角和为 1800°, 且两个多边形的边数之比为 2∶5 , 则这两个多边形分别是几边形？
解:设两个多边形的边数分别为 2n 和 5n ,
则它们的内角和分别为 (2n－2)×180°和 (5n－2)×180°，
所以 (2n－2)×180°＋(5n－2)×180°＝ 1800°，
解得 n＝ 2．∴ 2n ＝ 4，5n ＝10．
答: 这两个多边形分别为四边形和十边形．

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