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1.1 多边形
课时2 多边形的外角与外角和
1.了解多边形的外角的概念,并能准确找出多边形的外角，了解四边形的不稳定性；
2.掌握多边形的外角和公式,能利用内角和与外角和公式解决实际问题.
小刚住的小区有一个五边形的小道，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，并面对他出发时的方向，他的身体旋转了多少度？今天就让我们一起来探究一下．
问题1：小刚从一个跑道运动到下一个跑道时，转过的角是哪些角？请标出．
1
2
3
4
5
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
如图，∠BAE的外角是∠1.
你知道n边形有几个外角吗？
n边形有2n个外角．
问题2：小刚跑完一圈，转过的角度之和是多少？
1
2
3
4
5
小刚跑完一圈转过的角度和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
如图，五边形ABCDE的外角和是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5.
思考 我们已经知道三角形的外角和为 360°，那么四边形的外角和为多少度呢？
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补
A
B
C
D
1
2
3
4
问题2：四个外角加上它们分别相邻的四个内角和是多少？
4×180° = 720°
问题3：这四个平角和与四边形的内角和、外角和有什么关系？
如图，因为∠1 +∠DAB = 180°，
∠2 +∠ABC = 180°，
∠3 +∠BCD = 180°， ∠4 +∠ADC = 180°，
所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4×180° - 360° = 360°.
因此四边形的外角和为 360°.
A
B
C
D
1
2
3
4
又 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°，
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形的外角和
= 360°
= 5个平角和
－五边形内角和
= 5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于 360°.
问题4：五边形的外角和是多少呢？
n 边形外角和
结论：n 边形的外角和等于 360°.
－(n－2) × 180°
= 360°
= n 个平角和－ n 边形内角和
= n×180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考 n 边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？
解：设这个多边形是边形，则它的内角和是
（ －2）·180°，外角和等于360°，
所以（ －2）·180 °=5×360 °,
解得： =12.
答：这个多边形是十二边形．
例2 正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180゜，
根据题意，得
（n－2）·180゜＝135゜n,
解得n＝8．
所以，这个多边形是八边形．
方法一
分析：n边形外角和等于360゜，正多边形的每个内角都相等，每个外角都相等，同一顶点的内角与外角互补.
解：每个外角的度数为180°-135°=45°，
外角的个数为360°÷45°=8，
所以，这个多边形是八边形.
例2 正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正几边形？
方法二
观察 用 4 根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，可以得到不同形状的四边形，由此你会发现什么？
可以发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性.
想一想：在日常生活中，四边形的不稳定性，有着较为广泛的应用， 你能举出应用四边形不稳定性的其他例子吗
电动伸缩门
升降器
在栅栏两横梁之间加钉斜木条，这是为什么呢？
克服四边形的不稳定性，利用了三角形的稳定性.
多边形的外角与外角和
外角和
多边形的外角和等于 360°
特别注意：与边数无关.
四边形
具有不稳定性
外角的定义
1.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数是(　　)
A.7 B.6 C.4 D.5
2.如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是(　　)
A.110° B.108° C.105° D.100°
B
D
3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进20米后左转24°，再沿直线前进5米，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．
300
4.一个多边形的外角和是内角和的 ，求这个多边形的边数.
解：设多边形的边数为 n.
因为它的内角和等于 (n－2) 180°，
多边形外角和等于 360°，
所以 (n－2) 180°= 5×360°.
解得 n = 12.
所以这个多边形的边数为 12.

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