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1.2.1 平行四边形的性质
课时1 平行四边形的边、角性质
1.理解平行四边形的概念；
2.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等；
3.运用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
观察下列图片，平行四边形在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
A
B
C
D
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形
两组对边：AD和BC，AB和DC
两组对角：∠A和∠C，∠B和∠D
2.表示：平行四边形ABCD
记作：“□ABCD”
读作：“平行四边形ABCD”
平行四边形的定义
注意字母顺序
BEKH， CHKF， BEFC， CDGH， ABCD.
如图，DC∥GH∥AB，DA∥FE∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
解：∵DC∥GH ∥AB，DA∥FE∥CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有 9 个平行四边形，即
AEKG， ABHG， AEFD， GKFD，
K
归纳：用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行.
根据平行四边形的定义，请画一个平行四边形 ABCD.
1. 任意画一条直线m；
2. 在直线m上任取一点A，在
直线m外任取一点B，连AB；
3. 过点B作直线m的平行线n，
在直线n上任取点C；
4. 过点C作直线AB的平行线，交直线m于点D，就得到□ABCD.
m
A
B
C
D
n
平行四边形的性质
请把画出的□ABCD剪下来，测量它的四条边的长、四个角的大小.
B
A
D
C
思考 通过测量你发现平行四边形的对边、对角之间有什么数量关系？
猜想：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等.
如何证明呢？
猜想：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等.
作对角线把平行四边形问题转化为三角形问题来解决
已知四边形ABCD是平行四边形.求证:AD=BC, AB=CD,∠BAD=∠BCD,
∠ABC=∠ADC.
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
思考 不添加辅助线，你能否证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
平行四边形的性质定理：
平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等.
A
B
C
D
AB = DC，BC = AD；
∠A =∠C，∠B =∠D.
如图，在 ABCD中：
例1 如图，四边形 ABCD 和 BCEF 均为平行四边形，BF 与 CD 相较于点 G，AD = 2 cm，∠A = 65°，∠E = 33°，求 EF 和∠BGC.
解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AD = BC = 2，∠1 =∠A = 65°.
因为 四边形 BCEF 是平行四边形，
所以 EF = BC = 2，∠2 =∠E = 33°.
于是在△BGC 中，
∠BGC = 180°－∠1－∠2 = 82°.
2
1
例2 如图，直线 l1 与 l2 平行，AB，CD 是 l1 与 l2 之间的任意两条平行线段. 试问：AB 与 CD 是否相等？为什么？
因此 AB = CD.
解：因为 l1∥l2，AB∥CD，
所以四边形 ABDC 是平行四边形.
l1
l2
D
A
B
C
平行线间的平行线段
结论：夹在两条平行线间的平行线段相等.
a
b
c
d
D
A
B
C
思考 如图，直线 a∥b，D，C 为直线 a 上任意两点，点 D 到直线 b 的距离和点 C 到直线 b 的距离相等吗？
F
E
两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
从上结论可知，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
若一个四边形只有一组对边平行而另一组对边不平行，则它是平行四边形吗
它不是平行四边形，而是我们小学认识的梯形.
说一说
互相平行的两边叫作梯形的底 (通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下底)，
A
B
C
D
上底
下底
腰
腰
高
定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形.
如图，四边形 ABCD 是梯形.
不平行的两边叫作梯形的腰.
两底的公垂线段叫作梯形的高.
A
B
C
D
两腰相等的梯形叫作等腰梯形.
有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.
思考 将左边两图中线段 DA 沿 DC 方向平移，使其过点 C，则原梯形可分割成两个什么图形？
A
B
C
D
平行四边形和等腰三角形，长方形和直角三角形.
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等
两条平行线间的平行线段相等
两条平行线间的距离
两组对角分别相等，邻角互补
1. 如图，在 ABCD中.
(1) 若∠A = 130°，则∠B =_____° ，∠C =_____° ，∠D =_____°.
(3) 若∠A+∠C = 200°，则∠A =____°，∠B =_____°.
(2) 若AB = 3，BC = 5，则它的周长 = ______.
C
D
A
B
50
130
50
100
80
16
2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠DAB，AB ＝ 5 cm，AD ＝ 9 cm，则 EC ＝ cm.
C
4
A
B
D
E
A
B
C
D
E
第3题图
第2题图
3. 如图，直线AE∥BD，点C 在BD上，若 AE = 5，BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 .
10
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD = BC.
∴ ∠CDE = ∠DEA，∠CFB = ∠FBA.
又∵DE，BF 分别平分 ∠ADC，∠ABC，
∴∠CDE = ∠ADE，∠CBF = ∠FBA.
∴ ∠DEA = ∠ADE，∠CFB =∠CBF.
∴AE = AD， CF = BC.
∴AE = CF.
4. 已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC. 求证：AE = CF.
A
B
D
C
E
F

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