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1.2.2 平行四边形的判定
课时1 平行四边形的判定定理1、2
1.理解并掌握平行四边形的判定定理
1、2；
2.会运用平行四边形的判定定理1、2进行推理论证.
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了
这是为什么呢？
B
A
思考 如图，将线段 AB 向右平移 BC 长度后得到线段 DC，连接 AD，BC，由此你知道四边形ABCD 的形状吗？有什么猜想呢？
D
C
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
四边形 ABCD 是平行四边形
如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝CD，求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
证明：连接 AC.
又AB＝CD，AC＝CA，
因此△ABC≌△CDA (边角边).
从而∠3＝∠4，于是 BC∥AD.
由平行四边形的定义得，四边形 ABCD 是平行四边形.
3
2
4
1
由于AB∥CD，因此∠1＝∠2.
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理1
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
例1 如图，点 E，F 在 □ ABCD 的边 BC，AD 上， BE = BC， FD = AD，连接 BF，DE.求证： 四边形 BEDF 是平行四边形.
证明：因为四边形 ABCD 为平行四边形，
所以 BE = FD.
又因为BE∥FD，
所以四边形 BEDF 是平行四边形.
A
B
D
C
E
F
所以 AD∥BC，且 AD＝BC.
因为 BE = BC，FD = AD，
注意：AD // BC，且AD=BC，可简记为“AD BC”，读作“AD平行且等于BC”.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，EB∥FD．
又∵EB ＝ AB ，FD＝ CD，
∴EB＝FD ．
∴四边形 EBFD 是平行四边形．
如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点. 求证：四边形 EBFD 是平行四边形.
思考 由上述的过程你有什么猜想呢？
做一做
如图，用两支同样长的铅笔和两支同样长的签字笔能摆成一个平行四边形的形状吗？动手试一试.
猜想 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如何证明这个猜想呢？
如图，在四边形 ABCD 中，AB＝DC，AD＝BC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
因为 AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，
所以△ABC≌△CDA(边边边).
从而∠1＝∠ 2，
于是 AD∥BC.
根据平行四边形的判定1得，
四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：连接 AC.
如何根据平行四边形的定义证明呢？
A
B
C
D
2
1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理2
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
证明：在平行四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，AD = BC，
又∵BF = DH，
∴AH = CF.
又∵AE = CG，
∴△AEH≌△CGF（边角边）.
∴EH = GF.
同理可得△BEF≌△DGH（边角边），∴GH = EF.
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
例2 如图，已知 E，F，G，H 分别是 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE = CG，BF = DH．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
平行四边形的判定
判定定理1
判定定理2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
1. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = .
A
F
B
D
C
E
P
8
2.已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件 .
AD = BC 或 AB∥CD
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD∥EF，AD = EF，
EF∥BC， EF = BC.
∴AD∥BC，AD = BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
3. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
4. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E， F 分别在直线 AD 的两侧，AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．求证：四边形 BFCE 是平行四边形．
证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即 AC＝BD.
在 △ACE 和 △DBF 中，
AC＝DB ，∠A＝∠D， AE＝DF，
∴△ACE≌△DBF(SAS).
∴CE＝BF，∠ACE＝∠DBF.∴CE∥BF.
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
证明：在平行四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，AD = BC，
又∵BF = DH，∴AH = CF.
又∵AE = CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS）.
∴EH = GF.
同理可得△BEF≌△DGH（SAS）∴GH = EF.
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
5. 如图，已知 E，F，G，H 分别是 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE = CG，BF = DH．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．

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