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1.2.2 平行四边形的判定
课时2 平行四边形的判定定理3
1.探索并证明“对角线互相平分的四边形是平行四边形”；
2.理解两组对角相等的四边形是平行四边形；
3.综合应用平行四边形的判定定理解决问题.
平行四边形的判定方法有哪些？
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
思考 还有其他的判定方法吗？
如图，把两细木条AC和BD的中点钉在一起，连接AB，AD，BC，CD，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
四边形ABCD是平行四边形
怎样去证明这个猜想呢？
A
C
D
B
O
根据平行四边形的判定定理1 得，
四边形 ABCD 是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD，
又因为∠AOB = ∠COD ，
所以△OAB≌△OCD(边角边) ，
从而 AB = CD，∠OAB =∠OCD.
所以 AB∥CD.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理3
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
O
D
A
C
例1 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上，且 OE = OF.
求证：四边形 AECF 是平行四边形.
证明：因为 四边形 ABCD 为平行四边形，
所以 OA = OC.
又因为 OE = OF，
所以四边形 AECF 是平行四边形.
例2 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C， ∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：因为∠A =∠C，∠B =∠D，
∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
所以 ∠A +∠B = = 180°.
所以 AD∥BC，
同理，AB∥DC.
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
D
C
由此你能得到什么结论？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A = ∠C,∠B = ∠D,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
D
A
C
(1) 两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？ 如果是，说明理由；如果不是，试举出反例.
不一定是平行四边形.
(2) 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？如果是，说明理由；如果不是，试举出反例.
不一定是平行四边形.
议一议
平行四边形的判定方法
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理 2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理 1）
角
对角线
两组对角分别相等的四边形是平行四边形(定义拓展)
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3)
1. 根据下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是( )
A. 两组对边分别相等
B. 两条对角线互相平分
C. 两条对角线相等
D. 两组对边分别平行
C
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O.
如果 AC = 8 cm，BD = 10 cm，
那么当 AO =____cm，BO =___cm 时，
四边形 ABCD 是平行四边形.
B
O
D
A
C
4
5
3.如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠B ＝ 55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1) 求 ∠D 的度数；
(2) 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°.
(2) 证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB.
∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝ 55°，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
4. 如图，五边形 ABCDE 是正五边形，连接 BD、CE，交于点 P． 求证：四边形 ABPE 是平行四边形．
证明：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
AB = BC = CD = DE = AE.
∴∠DEC = ∠DCE = ×(180°-108°) = 36°.
同理∠CBD =∠CDB = 36°.
∴∠ABP =∠AEP = 108° - 36°= 72°.
∴∠BPE = 360° - 108° - 72° - 72° = 108° = ∠A.
∴四边形 ABPE 是平行四边形．
A
B
C
D
E
P

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