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2.3.3 二次平移的坐标表示
第2章 图形与坐标
1. 掌握图形在平面直角坐标系中平移前后点的坐标的变化规律；
2. 用点的坐标变化表示图形的平移.
情境：如图，小楠同学每天上课可以选择三条路径. 假如将小楠同学看成是一个人形的图形，将这个图形分别沿着三条路径移动到学校位置，则移动后的三个图形与原始图形有什么关系？
家
学校
①
②
③
把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移. 平移后图形只改变位置，形状、大小不变.
问题1：如图，△ABC 的顶点坐标为 A (-4，-1)，B (-5，-3)，C (-2，-4).
（1）将 △ABC 向右平移 7 个单位长度，
作出它的像 △A1B1C1；
（2）将 △A1B1C1 向上平移 5 个单位长度，
作出它的像 △A2B2C2.
A
B
C
A1
B1
C1
A2
B2
C2
思考：将 △ABC 沿射线 AA2 的方向
平移线段 AA2 的长度，则△ABC 的
像是△A2B2C2 吗？
A
B
C
A1
B1
C1
A2
B2
C2
问题2：如图，结合平移前后点的坐标，总结图形平移的规律.
A (-4，-1)，B (-5，-3)，C (-2，-4).
A1 (3，-1)，B1 (2，-3)，C1 (5，-4)
A2 (3，4)， A2 (3，4)， C2 (5，1)
在这个平移下，平面内任一点 P (x，y) 与其像点 P′ (x′，y′) 的坐标之间有如下关系：
x′ = x + 7
y′ = y + 5
图形平移的方向与距离
图形上点的平移的方向与距离
点平移时
坐标变化规律
图形上点的坐标变化
图形平移时点的坐标变化规律
例1：如图，四边形 ABCD 四个顶点的坐标为 A (1，2)，B (3，1)，C (5，2)，D (3，4). 将四边形 ABCD 先向下平移 5 个单位长度，再向左平移 6 个单位长度，它的像是四边形 A′B′C′D′.
（1）写出四边形 A′B′C′D′ 的顶点坐标，并
作出该四边形.
（2）四边形 A′ B′ C′D′ 可看作是将四边形
ABCD 怎样平移得到的？
解：（1）A′ (-5，-3)，B′ (-3，-4)，
C′ (-1，-3)，D′ (-3，-1) .
A′
C′
D′
B′
（2）将四边形 ABCD 沿射线 AA′ 的方向平移线段 AA′ 的长度，则可得四边形 A′B′C′D′.
练一练：如图，菱形 ABCD 四个顶点的坐标为 A (4，7)，B (2，4)， C (4，1)，D (6，4). 将菱形 ABCD 先向下平移 3 个单位长度，得到像 A′B′C′D′ . 再将菱形 A′B′C′D′ 向左平移 6 个单位长度，得到像 A″B″C″D″ . 分别写出菱形 A′B′C′D′与菱形 A″B″C″D″ 的顶点坐标，并作出图形.
B′(2，1)
A′ (4，4)
C′ (4，-2)
D′ (6，1)
B′′ (-4，1)
A′′ (-2，4)
C′′ (-2，-2)
D″(0，1)
回顾：结合本节课所学知识，回答下列问题.
1. 说说图形在坐标系中平移的坐标特征；
2. 构建知识导图.
图形在坐标系中的平移
沿x轴平移
沿y轴平移
纵坐标不变
向右平移，横坐标加上一个正数
向左平移，横坐标减去一个正数
横坐标不变
向上平移，纵坐标加上一个正数
向下平移，纵坐标减去一个正数
1.如图，以 x 轴为对称轴作轴对称变换，画出 Rt△ABC 在该轴对称变换下的像，并写出像与原像的顶点坐标.
解：Rt△ABC 关于 x 轴对称的像
Rt△A′B′C′ 如图所示.
所求各点的坐标分别是
A′(-6，2)，B′(-2，4)，C′(-2，2)；A(-6，-2)，B(-2，-4)，C(-2，-2).
A′
C′
B′
2.如图，三架飞机 A，B，C 保持编队飞行 (飞机间的距离保持不变) 它们现在的坐标为 A (4，-2)，B (2，-5)，C (6，-5). 1 min 后，飞机 A 飞到 A′ 位置，此时飞机 B，C 分别飞到什么位置呢？写出这三架飞机在新位置的坐标.
解：飞机 A，B，C 都分别向上平移了 9 个单位长度. 三架飞机 A′B′C′ 在新位置的坐标分别是
A′ (4， 7)，B′ (2，4)，C′ (6，4).
′
′
3.如图，矩形 ABCD 的顶点坐标分别是 A (-5，-3)，B (-3，-5)，C (-2，-4)，D (-4，-2). 将矩形 ABCD 先向右平移 8 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，它的像是矩形 A'B'C'D'. 写出矩形 A'B'C'D' 的顶点坐标，并画出该矩形.
解：矩形 A′B′C′D′ 如图所示，四个顶点的坐标分别是 A′ (3，1)，B′ (5，-1)，C′ (6，0)，D′ (4，2).
A′
B′
C′
D′

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