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7.1.1 两条直线相交
第七章 相交线与平行线
01
理解邻补角和对顶角的概念，能在图形中辨认.
02
掌握邻补角和对顶角的性质，并能运用它们的性质进行角的计算及解决简单实际问题.
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
你发现了什么？
直线与直线相交于一点并形成了四个角.
你能再举出一些相交线的实例吗？
思考 如图，取两根本条a，b. 将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型. 在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化，请同学观察：
①两条相交的直线形成了几个角？
②这些角之间有怎样的位置关系？
③这些角之间有怎样的数量关系？
a
b
知识点1：邻补角和对顶角的概念
探究 任意画两条相交的直线，形成四个角.
问题1：∠1和∠2有怎样的位置关系？∠1和∠3呢？
答：∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线.
∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线.
邻补角
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角.
互为邻补角是互为补角的特殊情况.
(∠1和∠2)
对顶角
两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角.
(∠1和∠3)
1. 在下列各图中，∠1和∠2是不是邻补角？
(1) (2) (3)
不是
不是
是
2. 在下列各图中，∠1和∠2是不是对顶角？
(1) (2) (3) (4)
不是
不是
是
不是
问题2：分别量一下各个角的度数，∠1和∠2的度数有什么关系？∠1和∠3呢？
答：∠1和∠2互补；
∠1和∠3相等.
改变两条直线相交所成的角的大小，上述关系还保持吗，为什么？
知识点2：邻补角和对顶角的性质
邻补角的性质：
∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，
∠3+∠4=180°，∠4+∠1=180°.
邻补角互补
符号语言：
因为∠1和∠2互为邻补角，
所以∠1+∠2=180°.
对顶角的性质
∠1=∠3，∠2=∠4 .
对顶角相等
符号语言：
因为∠1和∠3互为对顶角，
所以∠1=∠3.
你能证明这个结论吗？
已知：直线 AB 与 CD 相交于 O 点.
证明：∠1=∠3.
证明：因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，
所以∠1与∠2互补，
∠3与∠2互补，
所以∠1=∠3（同角的补角相等）.
同理可得∠2=∠4.
①邻补角和对顶角是成对出现的.
②一个角的补角可以有多个，而两直线相交时，一个角的邻补角只有两个.
③互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角. 两个角互为邻补角，既有位置关系，又有数量关系.
④互为对顶角的两个角一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. 两个角互为对顶角，既有数量关系，又有位置关系.
特别提醒
例1 如图，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数．
解：由∠1和∠2互为邻补角，得
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.
由对顶角相等，得
∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.
1
2
a
b
4
3
3.若∠1+∠3= 80 ，求各个角的度数.
解：由对顶角相等，得∠1=∠3，
因为∠1+∠3= 80 ，所以∠1=∠3=40 .
由∠1和∠2互为邻补角，得
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.
由对顶角相等，得∠4=∠2=140°.
4.若∠2是∠1的 3倍，求各个角的度数.
解：由∠1和∠2互为邻补角，得
∠1+∠2= 180 ，
所以∠1+3∠1= 180 ，
所以∠1=45 ，∠2=135 .
由对顶角相等，得
∠3=∠1=45 ，∠4=∠2=135 .
1.邻补角：
概念：
性质：
2.对顶角：
概念：
性质：
如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角.
邻补角互补.
如果两个角有一个公共定点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角.
对顶角相等.
1.如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1=40 ，∠2=120 ，则∠COM的度数为( )　　
A．70 B．80 C．90 D．100
B
2.如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD= 度．
60
3.图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？
答：对顶角相等.
4.如图，直线相交于点O，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
解：（1）平分，
，
；
解：（2）设，则，
根据题意得，
解得：，
，
，
．
(2)若，求的度数．

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