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8.1 平方根
课时1 平方根的概念及计算
第八章 实数
01
了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系.
02
知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.
①5 + 6 =11
11- 6 = 5
11- 5 = 6
②5 × 6 = 30
30÷6 = 5
30÷5 = 6
③52 = 25
互为逆运算
互为逆运算
25 = ( )2
逆运算
除了 3 以外，有没有别的数的平方等于 9 呢？
9
3
32＝9
－3
(－3)2＝9
探究点1 平方根的概念和计算
我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方. 反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是可以是 3或-3.
思考：如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？
9
3
32＝9
－3
(－3)2＝9
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是可以是 3或-3.
想一想： 3 和 -3有什么特征？
互为相反数，3和-3一起叫做±3.
3 和 -3互为相反数，是不是巧合呢？
根据以上发现，尝试填写表格.
x2 1 16 36 49
x
±1
±4
±6
±7
问题1：如果我们把上述填表的 x 的值分别叫做1，16，36，49，的平方根，你能据此总结平方根的概念吗？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x叫作a的平方根或二次方根.
(±3)2 =9
±3是9的平方根
x
＋1
－1
＋2
－2
＋3
－3
x2
____
____
____
平方
1
4
9
x2
1
4
9
x
____
____
____
____
____
____
＋1
－1
＋2
－2
＋3
－3
开平方
求一个数的平方根的运算，叫作开平方
问题2：请完成下图，并说明两图中的运算有什么关系．
平方与开平方
互为逆运算
例1 分别求下列各数的平方根：
解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64，
所以 64 的平方根是 ±8；
(1) 64；
(2) 因为 = ，
(2)
(3) 0.01.
所以 的平方根是
(3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是0.1.
1.判断对错:
(1) 8 是 64 的平方根； ( )
(2) －8 是 64 的平方根； ( )
(3) ±8 是 64 的平方根； ( )
(4) 一个数的平方等于81，则这个数是 9. ( )
√
√
√
×
问题1：正数的平方根有什么特点？
正数有两个平方根，它们互为相反数.
a 0 0.01 0.25 1 4 9 ···
a的平方根
0
±0.1
±0.5
±1
±2
±3
···
探究点2 平方根的特征与表示方法
问题2：0的平方根是多少？它有几个平方根？为什么？
0的平方根是0，并且只有1个平方根.
因为02=0，并且任何一个不为 0 的数的平方都不等于 0，所以 0 的平方根是 0.
问题3：-1，-2，-3，-4这些数有没有平方根呢？为什么？
a 0 0.01 0.25 1 4 9 ···
a的平方根
0
±0.1
±0.5
±1
±2
±3
···
没有.
正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0 的平方是 0. 即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数. 所以负数没有平方根.
性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数；
性质2：0 的平方根是 0；
性质3：负数没有平方根.
想一想：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢
平方根的性质
正数 a
正平方根记为：
负平方根记为：
被开方数
读作“正、负根号 a ”.
即正数 a 的平方根表示为：
0的平方根记为 .
例如： 表
示9的平方根，
思考1：表示什么？
表示 9 的平方根．
9 的正的平方根为 ＝3.
9 的负的平方根为－ ＝－3.
9 的平方根为± ＝±3．
思考2：什么时候有意义？为什么？
表示一个数的正的平方根，而负数没有平方根，且 0 的平方根是 0，所以当 a≥0 时，有意义．　
例2 下列各数有平方根吗 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2.
解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根，
± = ±0.6；
(2) 因为 －5 是负数，所以 －5 没有平方根；
(3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根，
± = ± = ±4.
2. m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( )
A. 4 B. 2 C. －2 D. －
B
分析：
因为 m－1 和 3－2m是某正数的两个不同的平方根，
则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0，
解得 m＝2.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
平方根
概念：如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫做a的平方根或二次方根.
表示方法：正数a的平方根记为：
性质
正数有两个平方根，它们互为相反数
0的平方根是0
负数没有平方根
开平方：求一个数的平方根的运算.
平方与开平方互为逆运算
1.16的平方根是(　C　)
A. 4 B. －4
C. ±4 D. ±8
C
2. 下列说法正确的是(　D　)
A. 任何非负数都有两个平方根
B. 一个正数的平方根仍然是正数
C. 只有正数才有平方根
D. 负数没有平方根
D
3.若 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，则(m +n)3的平方根为( )
4 B. 8 C. ±4 D. ±8
D
4.若2x－4与3x－1是正数a的两个不相等的平方根，则正数a的值是（　 ）
A.1 B.100 C.4 D.4或100
C
5.已知 2a-1 的平方根为 ，3a-2b的平方根为 2，求 4a-b+2的平方根.
解：∵ 2a-1 的平方根为，3a-2b 的平方根为2，
∴ 2a-1=3，3a-2b=4，
∴ a=2，b=1，
∴ 4a-b+2=4×2-1+2=9，
∴ 4a-b+2 的平方根是±3.

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