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8.1 平方根
课时2 算术平方根
第八章 实数
01
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
02
会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性.
03
能估算一个数的算术平方根的范围，初步体会无限不循环小数.
结合前面所学知识，计算并思考下面的问题：
学校要举行美术作品比赛，小美画了一幅面积为25 dm 的正方形油画，请问这幅正方形油画的边长是多少
问题1：这幅正方形油画的边长是多少
由正方形的面积公式，通过平方和开平方互为逆运算推算，且面积不能为负，所以得出这幅正方形油画的边长为 5 dm.
问题2：你是怎么得出这个结果的呢
5 dm
平方根
正的平方根
负的平方根
算术平方根
求下列各数的平方根
探究点1 算术平方根的概念和性质
我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根. 正数a 的算术平方根用来表示.
算数平方根
规定：0的算术平方根是0. 0的算术平方根也记为.
1. 一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
2. 0的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3.负数有没有算术平方根
一个正数的算术平方根有1个
由算数平方根的定义可知，算术平方根的性质：
思考：是什么数？其中a可以取任何数吗？
a 的算术平方根
≥0，是非负数
a≥0，被开方数a是非负数
算术平方根的双重非负性
1.判断下列说法是否正确.
(1) －7是49的平方根，7是49的算术平方根 （ ）
(2)是的算术平方根 （ ）
(3)的算术平方根是4 （ ）
(4)5是的算术平方根 （ ）
(5)的算术平方根的相反数是 （ ）
×
√
×
×
√
平方根与算术平方根的区别与联系
平方根 算术平方根
区别 个数
表示方法
结果
联系 关系 范围 特殊值0
一个
两个，且互为相反数
正数的算术平方根一定是正数
正数的平方根一正一负
平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根
只有非负数才有平方根和算术平方根
0 的平方根和算术平方根都是 0
例 求下列各数的算数平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.
解:(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即=10；
(2)因为()2= ，所以的算术平方根是，即=；
(3)因为0.012=0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即=0.01.
思考：比较三个数的大小以及它们各自算数平方根的大小，你发现了什么？
从大到小
从大到小
100
0.0001
可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这个结论对所有正数都成立.
2. 求下列各数的算术平方根.
(3) ；
(1) 121；
(4) 0.25.
(2) 0；
解：(1) 11. (2) 0 . (3) . (4)0.5.
剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
探究点2 算术平方根的估算及大小比较
填空：
回忆三角形三边之间的关系，究竟是一个怎么样的数？
面积 dm2
边长 dm
1
2
1
算一算：估算 的大小.
(1) 比较 1，，2 之间的大小；
因为 1 = 1，() =2，2 = 4. 所以1<<2.
(2) 比较1.4，，1.5 之间的大小；
因为1.4 = 1.96，1.5 =2.25. 所以1.4<<1.5.
(3) 比较 1.41，，1.42 之间的大小.
因为1.41 =1.988 1，1.42 =2.016 4. 所以1.41<<1.42.
如此反复可确定出 更精确的估计范围，此种方法叫作“夹逼法”. 事实上， =1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数.
思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这样的数吗
实际上，很多正有理数的算术平方根(例如等)都是无限不循环小数.
用“夹逼法”求 近似值的步骤:
(1)通过估算，确定 在哪两个连续整数之间；
(2) 通过试算，确定 在哪两个连续的一位小数之间；
(3)通过试算，确定 在哪两个连续的两位小数之间；
......
如此反复，可求得 更精确的估计范围.
3. 估计与最接近的两个整数是多少？最接近的一个整数呢？
解：因为 32 = 9，42 = 16，
所以 3 < < 4．
所以与最接近的两个整数是 3 和 4. 最接近的一个整数是 3.
而 3.52 = 12.25，
所以 < 3.5 .
太小
太大
算术平方根
定义
表示
特征
如果一个正数 x 的平方等于 a，即________那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为________.
非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________.
正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______；负数没有算术平方根.
x2 = a
根号 a
被开方数
0
1.4的算术平方根是(　B　)
A. ±2 B. 2 C. －2 D.
2. 化简 的结果为(　D　)
A. ±5 B. 25 C. －5 D. 5
B
D
3.下列说法：
①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a；④算术平方根不可能是负数；
⑤(π－4)2的算术平方根是4－π.
其中正确的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
A
4. 计算：(1)－ ＝ ；
(2) ＋ ＝ .
5. (1)若 ＋｜n｜＝0，则m＝ ，n＝ ；
(2)已知 ＋ ＝0，则(a－b)2025的值为 .
－0.1　
9.2　
0　
0　
0　
6. 求下列各数(式）的算术平方根：
(1)121；(2)2 ；　 (3) .∴121的算术平方根是11.
解：(1)因为112＝121，所以121的算术平方根是11.
(2)因为( )2＝ ＝2 ，所以2 的算术平方根是 .
(3) ＝ ，
又因为92＝81， ＝9.而32＝9，
的算术平方根是3.

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