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8.2 立方根
课时1 立方根的概念及计算
第八章 实数
01
了解立方根的概念，知道立方根的性质，以及平方根与立方根的联系与区别.
02
会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根.
问题1：要做大小不同的正方体模型(如图),正方体棱长如下所示，你能求出它们的体积吗？
正方体棱长
正方体体积
追问1：已知正方体棱长求正方体体积这是做的什么运算呢？
立方运算
问题2：反之，要做大小不同的正方体模型(如图)，正方体体积如下所示，你能求出它们的棱长吗？
正方体棱长
正方体体积 27 64 0.125
追问2：类比平方根的定义，你可以对上表中四对数之间的关系给出新的数学概念吗？
立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.
例如，2 是 _____ 的立方根，3 是 _____ 的立方根．
8
27
追问3：类比开方的运算的定义，你可以对上表中的运算给出新的数学概念吗？
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
观察下面数字并连一连，看看你有什么发现？
+3
-3
+2
-2
+4
-4
27
-27
8
-8
64
-64
+3
-3
+2
-2
+4
-4
立方
开立方
互为逆运算
根据互逆关系，可以求一个数的立方根.
探究：根据立方根的意义填空:
因为13=1，所以1的立方根是( )；
因为( )3=0.064，所以0.064的立方根是( )；
因为( )3=-8，所以-8的立方根是( )；
因为( )3=-，所以-的立方根是( )；
因为( )3=0，所以0的立方根是( ).
1
0.4
0.4
0
0
-2
-2
-
-
思考：你能发现正数的立方根有什么特点吗 负数呢 0的立方根是多少
正数的立方根是______，
负数的立方根是______，
0 的立方根是______.
正数
负数
0
立方根等于本身的数有 0，±1.
任何一个数都有唯一的一个立方根，且立方根的符号与原数符号保持一致.
1.关于立方根，下列说法正确的是（　　）
A．正数有两个立方根
B．立方根等于它本身的数只有0
C．负数的立方根是负数
D．负数没有立方根
C
类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”.
a 是被开方数
3 是根指数
注意：这个根指数3绝对不可省略！
例如：表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，=-2.
实际上省略了中的根指数2，因此也可以读作“二次根号a”.
仿照平方根的表示方法，如何表示立方根？
例1 求下列各数的立方根：
(1)(2)3； (2)343； (3)64； (4) .
解:(1) (2)3的立方根是2，即=2；
(2)因为73=343，所以343的立方根是7，即=7；
(3)因为(4)3=64，所以64的立方根是4，即=4；
(4)因为()3= ，所以的立方根是，即= .
例2 已知 x-2 的平方根是±2，2x+2y+7 的立方根是3，求x2+7y的立方根.
解：
因为 x-2 的平方根是±2
所以 x-2 = 4
x = 6
因为2x+2y+7 的立方根是3
所以 2x+2y+7 = 27
将 x = 6 代入，得 y = 4
x2 + 7y= 62 + 7×4= 64
所以 x2 + 7y 的立方根是4.
2.已知 y 的立方根是 2，2x – y 是 16 的算术平方根，求:
(1) x，y 的值；
(2) x2 + y2 的值的平方根.
解：
(1)因为 y 的立方根是 2，2x – y 是 16 的算术平方根，
所以 y = 23 = 8， 2x – y = 4
所以 x = 6， y = 8.
(2)由(1)得 x = 6， y = 8，
所以 x2 + y2 = 62 + 82 =100
所以 x2 + y2 的平方根为 .
平方根 立方根
区别 性质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
联系 运算关系 运算关系 0 的开方 0 的开方 两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
可以为任何数
非负数
±
想一想：数的平方根与数的立方根有什么区别和联系吗？
都与相应的乘方运算互为逆运算.
0 的平方根与立方根都是 0.
立方根
定义
性质
求一个数的立方根
如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的________或三次方根.
正数的立方根是_______；
负数的立方根是_______；
0的立方根是_______.
——开立方
立方根
正数
负数
0
1.下列说法正确的是（　　）
A. 一个正数有两个立方根，它们的和为0
B. 负数没有立方根
C. 如果一个数没有平方根，那么它一定没有立方根
D. 一个数的立方根与这个数同号
D
2.若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( )
A．0 B．±10
C．0或10 D．0或－10
D
3．一个正数 a 的两个平方根是 2b-1和 b+4，则 a+b 的立方根为 .
2
4.若x－1是125的立方根，则x－7的立方根是 .
-1
5.求下列各数的立方根：
(1)0； (2)2 ； (3)－9； (4)－0.125.
解：(1) ＝0.
(2)＝＝.
(3) ＝.
(4)＝－0.5.
6.已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算数平方根．
解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4. ∴x＝6.
∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.
把x＝6代入，解得y＝8，
∴x2＋y2＝62＋82＝100.
∴x2＋y2的算数平方根为10.

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