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7.2.1 平行线的判定
第七章 相交线与平行线
01
掌握平行线的三种判定方法，并会运用所学方法来判断两条直线是否平行.
02
能灵活选用平行线的判定方法进行推理.
我们已经知道，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行．但是，由于直线是无限延伸的，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线不相交来判断它们是否平行．那么，有没有其他判定方法呢？
思考：你还记得如何用三角尺和直尺画平行线的方法.
(1) 放
(2) 靠
(3) 推
(4) 画
知识点1：利用同位角判定两条直线平行
a
b
问题1：画图过程中，三角尺起着什么作用？
问题2：直线 a，b 位置关系如何？
a∥b
保持∠1与∠2 相等
a
b
1
2
平行线的判定定理1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
a
b
c
1
2
符号语言：
因为∠1=∠2（已知），
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）.
探究 如图，直线a，b被直线c所截.
（1）内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得出a∥b？
解：当∠1=∠2时，能得出a∥b.
理由如下：
因为∠1=∠2（已知），
∠2=∠4（对顶角相等），
所以∠1=∠4（等量代换），
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）.
遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题
知识点2：利用内错角判定两条直线平行
平行线的判定定理2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行．
符号语言：
因为∠1=∠2（已知），
所以 a∥b（内错角相等，两直线平行）.
a
b
c
1
2
探究 如图，直线a，b被直线c所截.
（2）同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出a∥b？
解：当∠1与∠3互补时，能得出a∥b.
理由如下：
因为∠1与∠3互补（已知），
∠4与∠3互补（邻补角互补），
所以∠1=∠4（同角的补角相等），
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）.
你还有其他证明方法吗？
知识点3：利用同旁内角判定两条直线平行
平行线的判定定理3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
符号语言：
因为∠1+∠3=180°（已知），
所以 a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
a
b
c
3
1
① ∵∠2 = ∠6 (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
② ∵ ∠3 = ∠5 (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
③ ∵ ∠4 + ___ = 180° (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
AB
CD
AB
CD
∠5
AB
CD
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
1.根据条件完成填空.
∵→“因为”
∴→“所以”
轨枕
钢轨
1
2
在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.
如图，已知∠1和∠2是直角，你能判定两条钢轨平行吗？
知识点4：利用垂直于同一条直线的两条直线判定平行
1
2
证明平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
b
c
a
1
2
例1 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行.
1
2
b
c
a
方法一
解： 这两条直线平行. 理由如下：
∵b⊥a，
∴∠1=90°.
同理 ∠2=90°.
∴∠1=∠2.
又∠1和∠2是同位角，
∴b∥c （同位角相等，两直线平行）
同位角相等，两直线平行
1
2
b
c
a
方法二
解： 这两条直线平行. 理由如下：
∵b⊥a，
∴∠1=90°.
同理 ∠2=90°.
∴∠1=∠2.
又∠1和∠2是内错角，
∴b∥c （内错角相等，两直线平行）
内错角相等，两直线平行
1
2
b
c
a
方法三
解： 这两条直线平行. 理由如下：
∵b⊥a，
∴∠1=90°.
同理 ∠2=90°.
∴∠1+∠2=180°.
又∠1和∠2是同旁内角，
∴b∥c （同旁内角互补，两直线平行）
同旁内角互补，两直线平行
在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.
简单说成：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
符号语言：
∵b⊥a，c⊥a（已知），
∴ b∥c（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）.
b
c
a
2.如图，下列推理中正确的是________.（填序号）
①∵∠B=∠BEF，∴AB∥EF；
②∵∠B=∠CDE，∴AB∥CD；
③∵∠DCE+∠AEF=180°，∴AB∥EF；
④∵∠A+∠AEF=180°，∴AB∥EF.
①②④
CD∥EF
内错角
同位角
同旁内角
到目前为止，判定两直线平行的方法有：
（1）定义法.
（2）基本事实的推论：若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
（3）判定方法1：同位角相等，两直线平行.
（4）判定方法2：内错角相等，两直线平行.
（5）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.
（6）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
判定两直线平行的方法
1．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等
D．两点确定一条直线
A
2.木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以在工件上找出两条平行线.如图，a∥b，他的理论依据是：
　　 .
同位角相等，两直线平行　
3. 如图，有以下四个条件：
①∠B + ∠BCD = 180°；②∠1 = ∠2；
③∠3 =∠4；④∠B =∠5. 其中能判定 AB∥CD 的条件有 (填序号).
画一条直线 l⊥AB，
并测量 l 与 CD 的夹角，若夹角为 90°，
则 AB 与 CD 平行；否则不平行
①③④
4．若想检验一块破损的木板(如图)的两条直的边缘AB，CD是否平行，你的办法是_________________
_________________________________
____________________________.
5.一副直角三角尺叠放如图（1）所示，现将含45°的三角尺ADE 固定不动，将含30°的三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图（2），当∠BAD =15°时，BC//DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A．60°和135°
B．45°、60°、105°和135°
C．30°和45°
D．以上都有可能
解析：如图(3)，当∠BAD =∠DAE =45° 时， AC∥DE ；
如图(4)，当 ∠BAD =∠B =60° 时， BC∥AD ；
如图(5)，当 ∠EAB =∠B =60° 时， BC∥AE ，
∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+60°=105°；
如图(6)，当 ∠E =∠EAB =90° 时， AB∥DE ，
∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+90°=135°．
(3)
(4)
(5)
(6)

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