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7.2.3 课时1 平行线的性质
第七章 相交线与平行线
01
理解并掌握平行线的性质定理1，并证明平行线的性质定理2、3.
02
经历平行线性质的探究过程，初步感受性质与判定间的互逆关系，并能够根据平行线的性质进行简单的推理.
有哪些判定方法可以证明两条直线平行？
反过来，已知两直线平行，所截得的同位角，内错角，同旁内角会出现相等或互补的数量关系吗
内错角相等
同位角相等
两条直线平行
同旁内角互补
判定
探究1：如图所示，画两条平行线a∥b，然后任意画一条截线c与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数．
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
问题1：在∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？
同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7．每对同位角的度数都相等．
猜想：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
问题2：由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系．
利用信息技术工具改变截线 c 的位置，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
猜想：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
平行线的性质1：
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等.
符号语言：
∵a∥b（已知），
∴ ∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）.
a
b
c
2
1
探究2 我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”，类似的，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
如图，平行线a，b被直线c所截，∠1和∠3的度数有什么关系？
解：能得出∠3＝∠1. 理由如下：
∵a∥b（已知）
∴∠1= ∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠3 =∠2（对顶角相等）
∴∠3= ∠1（等量代换）
a
b
c
1
2
3
平行线的性质2：
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
简单说成：两直线平行，内错角相等．
符号语言：
∵a∥b（已知），
∴ ∠1=∠3
（两直线平行，内错角相等）.
a
b
c
1
2
3
探究3 类似的，你能由性质1或性质2推出两条平行线被第三条直线截得的同旁内角之间的关系吗？
如图，平行线a，b被直线c所截，∠1和∠4的度数有什么关系？
a
b
c
2
1
4
解：能得出∠1+∠4=180°. 理由如下：
∵a∥b（已知）
∴∠1= ∠2（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠2+∠4=180°（邻补角定义）
∴ ∠1+∠4=180°（等量代换）
再试试用内错角证明吧
平行线的性质3：
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
符号语言：
∵a∥b（已知），
∴ ∠2+∠4=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
a
b
c
2
1
4
解： ∵ AB∥DE ( )，
∴∠A = ______ ( ).
∵AC∥DF ( ) ，
∴∠D + _______ = 180°.
( ).
∴∠A +∠D = 180° ( ).
如图 ，若 AB∥DE，AC∥DF， 试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行，同旁内角互补
等量代换
例2 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角∠D，∠C分别是多少度
A
B
C
D
解：∵梯形的上、下两底CD与AB互相平行
∴∠A+∠D =180 ，∠B+∠C =180
（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠D =180 －∠A=180 －100 =80 ，
∠C =180 －∠B=180 －115 =65 ．
∴梯形的另外两个角∠D，∠C分别是80 ，65 ．
平行线的性质
性质 1
性质 2
性质 3
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
1.一杆古秤在称物时的状态如图，此时，，则的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
C
2.如图，直线直线，则的值是（ ）．
A．20
B．30
C．40
D．50
B
3.如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠A是135°，第二次的拐角∠B是多少度？为什么？
解：∠B是135°，理由如下：
∵水渠两次转弯后，和原来的方向相同，
∴AC∥BD，
∴∠B=∠A=135°（两直线平行，内错角相等）.
A
B
C
D
4.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，当∠1 = 45°，∠2 = 122° 时，求∠3 和∠4 的度数.
F
C
E
B
A
D
解：由题意得，AE∥BF，
∴∠1 = ∠3 = 45°.
因为 AB∥CD，
∴∠2 +∠5 = 180°，即∠5 = 58°.
又因为 AC∥BD，
∴∠5 = ∠4 = 58°.
5.如图：已知，，，于点D，于点F．求证：．
证明：，（已知）
（角的和差计算）
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
，（垂直的定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
（等量代换）

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