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7.3 定义、命题、定理
第七章 相交线与平行线
01
通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义，结合具体实例，会区分命题的题设和结论.
02
知道证明的意义和必要性，知道数学思维要合乎逻辑，会用综合法的证明格式，了解反例的作用.
我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话是对事物进行描述的，如：
(1)鄱阳湖是中国最大的淡水湖. ( )
(2)今天的天气很好. ( )
(3)浪费是可耻的. ( )
(4)春天到了，花儿开了. ( )
在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：
(5)画线段AB=3cm. ( )
(6)两条直线相交，只有一个交点. ( )
判断
描述
描述
描述
判断
判断
知识点1 定义和命题
（1）规定了原点、正方向和长度单位的直线叫作数轴；
（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
请同学们读出下列语句：
像这样对数学对象进行清晰、明确的描述，称为数学对象的定义.
一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并做出准确的判断.
数轴
直线
规定了原点、正方向和单位长度
方程的解
未知数的值
使方程左、右两边的值相等
我们一起来看一些可以判断正确与否的陈述.
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；
（2）对顶角相等；
（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（4）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
都是在对一件事进行判断.
(对)
(对)
(对)
(对)
思考：上述这些语句有什么特征
(错)
像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句，叫作命题.
注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
不是命题的形式，如：
① 疑问句；如：你喜欢数学吗？
② 感叹句；如：今天天气很好啊！
③ 祈使句；如：作线段 AB = CD.
被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，
被判断为错误(或假)的命题叫作假命题.
1.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题.
（1）猪有四只脚；
（2）内错角相等；
（3）画一条直线；
（4）四边形是正方形；
（5）同位角相等，两直线平行；
（6）同角的补角相等；
（7）同垂直于一直线的两直线平行；
（8）x＞2.
真命题
不是命题
假命题
假命题
真命题
真命题
真命题
不是命题
思考：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；
（3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
（4）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
都是“如果……那么……”的形式.
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
题设
结论
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
命题的组成：
有些命题的题设和结论不明显，你能将下列命题写成“如果……那么……”的形式吗？
从题设和结论的角度，如何理解真命题和假命题？
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；
（2）对顶角相等；
（3）互为相反数的两个数的绝对值相等；
（4）绝对值相等的两个数互为相反数；
（5）两直线平行，内错角相等.
如果在一个等式的两边加上同一个数，那么所得的结果仍相等；
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；
如果两条直线平行，那么内错角相等.
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是真命题.
如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是假命题.
真命题
真命题
真命题
真命题
假命题
2.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
（1）两点确定一条直线；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等.
如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线
如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等
如果两个角是内错角，那么这两个角相等
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
这些方法往往并不可靠.
那已经知道的真命题又是如何证实的
能不能根据已经知道的真命题证实呢
如何证实一个命题是真命题呢？
知识点2 定理与证明
思考：下列真命题，它们的正确性是经过推理证实的吗？
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）内错角相等，两直线平行.
关于平行线的基本事实
判定两条直线平行的基本事实
经过推理证实
经过推理证实
(1)(3)的正确性是经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的，这样的真命题叫作基本事实.基本事实是推理的原始依据.
定理
定理
(2)(4)的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.
经过推理证实的真命题叫做定理.
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明命题：“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”.
例 如图，已知直线a⊥b，b∥c. 求证a⊥c.
证明：∵ a⊥b（已知），
∴∠1=90 （垂直的定义）.
∵ b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=90 （等式的基本事实）.
∴ a⊥c（垂直的定义）.
①分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；
②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
③经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.
证明的一般步骤：
如何判定一个命题是假命题？
例如，要判定命题 “相等的角是对顶角” 是错误的， 可以举出如下反例：
举反例
在图中，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2， 但它们不是对顶角．
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
1
2
A
O
C
B
命题
真命题
假命题
基本事实
定理
基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真.
定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题.
定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系：
定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围.
定义
一般举一个反例即可
1.能说明“锐角a，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( )
C
2.下列命题可以作定理的有 个．
①2与6的平均值是8；
②能被3整除的数能被6整除；
③5是方程的根；
④三角形的内角和是；
⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
2
3.判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题．
(1)同位角相等，两直线平行；(2)延长到点；
(3)同角的补角相等；(4)平方后等于的数是．
解：（1）真命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果两直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两直线平行；
（2）不是命题；
（3）真命题；写成“如果…那么…”的形式为∶如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等；
（4）假命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数的平方等于，那么这个数为．
4.如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
(1)这三个命题中，真命题有______个；
(2)选择一个真命题，并且完成证明过程．
3
(2)已知，，求证：．
证明：∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴．
（2019 常州）
判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ 　）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
A

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