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8.1 平方根
课时1 平方根的概念及计算
第八章 实数
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系.
2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.
（1）32= ，（－3）2= ；
（2） ， ；
（3）0.82= ，（－0.8）2= .
填空
【思考】我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？
9
9
0.64
0.64
【思考】如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
3或-3.
问题：你是如何思考的？
因为32=9，所以这个数可以是3；
又因为（-3）2=9，所以这个数也可以是-3．
除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3.
根据上述你发现的规律填写下表：
x2 1 16 0 49
x
±1
±4
0
±7
±
一般地，如果一个数的平方等于，即2 =，那么这个数叫作的平方根或二次方根.
平方根的概念：
求一个数的平方根的运算，叫作开平方.例如，3和-3是9的平方根，通常把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根.
开平方的概念：
【探究】完成下列平方与开平方的连线，说说你有什么发现？
+1
-1
+2
-2
+3
-3
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
1
4
9
互为
逆运算
根据互逆关系，可以求一个数的平方根.
平方
开平方
例1 求下列各数的平方根:
(1) 64； (2) ； (3) 0.01.
解：(1) 因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8；
(2) 因为 ( ± )2 = ，所以的平方根是±；
(3) 因为(±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是 ±0.1.
负数没有平方根.
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
【思考】正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
任何一个数的平方都是非负数，所以负数没有平方根.
知识点2 平方根的特征及表示方法
【思考】如何表示一个数的平方根？
正数 a 的正平方根用“”表示，读作“根号 a” ，a叫作被开方数；正数 a 的负平方根用“”表示，读作“负根号 a”.
故正数 a 的平方根用“”表示，读作“正、负根号 a”.
特别地，0的平方根记为.
例如，±表示9的平方根，±=±3.
只有当大于或等于0时，有意义；而当小于0时， 没有意义．为什么？
任何数的平方都不等于负数，因此当小于0时，在实数范围内没有意义
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，说明理由：
（1）0.36； （2） ； （3）（-4） .
解：（1）因为0.36 是正数，所以0.36有两个平方根，± 0.6；
（2）因为-5是负数，所以；
（3）因为(-4) =16是正数，所以(-4) 有两个平方根，± =± =±4.
① 求一个非负数的平方根，就是要把平方后等于的数找出来，从而求出的所有平方根；
② 求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数，这也是常出错的地方.
注意：正数的平方根有两个，前面必定有“±”号.
求一个非负数的平方根的方法
求出下列各数的平方根：
（1）0； （2）（-999） ； （3）81.
解：（1）因为=0，所以0的平方根是0；
（2）因为，所以的平方根是± ；
（3）因为=±9，所以81的平方根是±9.
平方根
概念
一般地,如果一个正数的平方等于,即 =，那么这个正数叫做的算数平方根.0的算术平方根是0
的平方根记作
记法
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
性质
2.下列说法正确的是 _________.
①④⑤
① -3 是 9 的平方根； ② 25 的平方根是 5；
③ -36 的平方根是 -6； ④ 平方根等于 0 的数是 0；
⑤ 49 的平方根是± 7.
1.2的平方根是( )
A.2 B.±2
C. D.±
D
(1)的平方根是 .
(2)如果2=10.222，那么=________．
(3)若一个正数的平方根是2-1和-+2，则= ，这个正数是 .
±10.22
-1
9
3.填空题：
±2
4.求下列各数的平方根.
(1)(-11)2；(2) ；(3) ；(4) .
解：(1)(-11)2 =121，它的平方根是 ±11.
(2) =7，它的平方根是 .
(3) =4 ，它的平方根是 ±2.
(4) ，它的平方根是 .
5.一个正数x的两个不同的平方根分别是3m＋2与4m－9.
(1)求x和m的值；
(2)求x＋11m的平方根．
解：(1)由题意可得3m＋2＋4m－9＝0，
解得m＝1，∴x＝(3×1＋2)2＝25.
(2)将x＝25，m＝1代入x＋11m中，得25＋11×1＝36.
∵36的平方根是±6，
∴x＋11m的平方根是±6.

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