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8.1 平方根
课时2 算数平方根
第八章 实数
1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根.
2.了解算术平方根的非负性，理解算术平方根与平方根之间的区别.
3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.
马上要母亲节了，小红想裁出一块面积为25 dm 的正方形手帕，绣上喜欢的图案送给自己的妈妈，这块正方形手帕的边长应取多少
实际生活中像这样只需求正的平方根的例子还有很多！
( )2 = 25
±5
因为-5的平方虽然也是25，但是边长不可以取负数，所以舍去，所以正方形手帕的边长为5 dm.
知识点1 算数平方根的概念
正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数 的算术平方根用来表示.
规定：0 的算术平方根是 0，0的算术平方根也记为 .
算术平方根的概念：
知识点2 算数平方根的性质
问题1 一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
问题2 0的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
问题3 有意义吗？
一个正数的算术平方根有1个
【探究】由算数平方根的定义探究算术平方根的性质：
算术平方根的性质：
1、算数平方根具有双重非负性.
①被开方数一定是非负数，即≥0
②算数平方根也是一个非负数，即≥0
2、非负数的算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.
例3 求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.0001.
解：（1）因为10 =100，所以100的算数平方根是10，即=10；
（2）因为（ ） = ，所以的算数平方根是 ，即= ；
（3）因为0.01 =0.0001，所以0.0001的算数平方根是0.01，即=0.01；
被开方数越大，对应的算数平方根就越大.
【思考】比较三个数的大小以及它们各自算数平方根的大小，你发现了什么？
思考 算数平方根与平方根之间有什么区别和联系？
平方根 算术平方根
表达式
正数数量
负数数量 0 联系
，和为0
，值为正
平方根里包含算术平方根，如果知道一个数的算数平方根也可以知道它的平方根.
知识点3 估算算数平方根大致范围
【探究】怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形 这个大正方形的边长是多少
如图将两个小正方形分别沿对角线剪开，
【探究】怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形 这个大正方形的边长是多少
如图将两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm 的大正方形.
观察大正方形，你觉得它的边长是多少？
解：设大正方形的边长为 dm，则：
=2
由边长的实际意义可知：
=
所以大正方形的边长是dm.
【探究】怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形 这个大正方形的边长是多少
多大呢？
因为 12=1，22=4，而 12 < 2 < 22 ，所以
1 < < 2;
因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，而 1.42 < 2 <1.52 ，所以
1.4 < < 1.5；
因为1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4，而 1.412 < 2 < 1.422 ，所以
1.41 < < 1.42；
因为1.4142 = 1.999 396，1.4152 = 2.002 225，而 1.4142 < 2 < 1.4152 ，所以
1.414 < < 1.415；
如此进行下去， 可以得到的更精准的范围，
事实上， =1.414213562373…，它是一个无限不循环小数.
实际上，很多正有理数的算术平方根（例如 等）都是无限不循环小数．
小数位数无限，且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.
1.估计的值在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间
C. 4和5之间 D. 5和6之间
解析：因为32=9，42=16，
所以3<<4；
B
算术平方根的估值
1.先对算术平方根平方；
2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；
3.对以上两个整数开方；
4.确定算术平方根的值在开方后所得的两个整数之间；
算数平方根
表示方法：正数a的算数平方根记为：
性质
0 的算数平方根是 0
被开方数越大，对应的算数平方根就越大
估算无限不循环小数的大小
概念：正数有两个平方根，其中正的平方根叫作的算数平方根.
1.若是49的算术平方根，则等于( )
A.7 B. ±7 C. 49 D.-49
B
2.0.49的算术平方根的相反数是( )
A.0.7 B.-0.7 C.±0.7 D.0
B
3.完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是( )
A.2 B.5
C.10 D.20
B
4.下列四个结论中，正确的是( )
A. 3.15＜ ＜3.16 B. 3.16＜ ＜3.17
C. 3.17＜ ＜3.18 D. 3.18＜ ＜3.19
B
5. 已知，满足 + (+ 2 )2 = 0，求2 - 2 的值.
解：因为≥0，(+2)2≥0，
所以=0，(+2)2=0，
所以-1=0且+2=0
所以=1，=-2.
所以2-2=12-(-2)2=-3.

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