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20.1 勾股定理及其应用
课时3 利用勾股定理作图与计算
第二十章 勾股定理
01
掌握利用勾股定理证明“HL”的方法.
02
经历探索用勾股定理在数轴上表示无理数的过程，掌握在数轴上(或网格中)表示无理数的方法.
03
能用勾股定理解决在直角坐标系或网格中求线段长度等问题.
任务一：掌握利用勾股定理证明“HL”的方法
活动：我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．请画出图形，写出已知、求证，并用勾股定理证明这一定理.
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'，
求证：△ABC△A'B'C'.
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
∠C=∠C'=90°，根据勾股定理，得:
又 AB=A'B'，AC=A'C'，
∴BC=B'C'.
∴△ABC△A'B'C'(SSS).
.
.
.
任务二：探究并掌握在数轴上表示无理数的方法
活动：用所学知识，解答下列问题：
(1) 请求出下列直角三角形的斜边，并在数轴上表示出这些边长的点.(说说你的作法，保留作图痕迹)
(2)观察右下角的“海螺型”图案，与同伴交流，尝试分析这个“海螺型”图案是如何形成的.
2
1
2
3
1
1
0
1
2
3
4
作图步骤：（以 为例）：
l
A
B
C
1.在数轴上找到点A,使OA=3;
2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点.
O
也可以使OA=2，AB=3，同样可以确定C点.
类似地，利用勾股定理可以作出长为 …的线段(如图1)，同样，可以在数轴上作出表示 …的点(如图2).
-1 0 1 2 3
图1
图2
在数轴上表示无理数的方法：
1.利用勾股定理把要表示的无理数中根号下的整数，拆分成两个整数的平方和的形式，即可得出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方.
2.以数轴原点为直角三角形一条直角边的顶点，在数轴的正半轴上找到表示其中较大整数的点作为直角顶点，过这点作数轴的垂线,构造直角三角形，找出斜边;
3.以数轴原点为圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点.
1.在数轴上表示 的点在表示两个连续整数 的点之间．
4和5
2.在数轴上作出表示 的点.（不写作法，保留作图痕迹）
如图所示，
解：长为 的线段可以看成是直角边长为正整数4,2的直角三角形的斜边.
2
l
0
1
2
3
4
任务三：用勾股定理解决在直角坐标系或网格中求线段长度等问题
活动：解答下列问题,小组整理、归纳解答中遇到的问题或注意事项.
(1)如图1，数轴上点A所表示的数为a，则a=________.
(2)如图2，正方形网格中,每个小正方形的边长为1，
求网格上的三角形ABC的面积和周长.
图2
图1
∴点A所表示的数为 .
解：（1）∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为 ，
即－1到A的距离是 ，
(1)如图1，数轴上点A所表示的数为a，则a=________.
图1
所以，△ABC的周长为
由勾股定理得
(2)如图2，正方形网格中,每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC的面积和周长.
（2）S△ABC =
图2
（1）求数轴上点所表示的数时要注意观察画弧的起点是否是原点，准确确定斜边长.
（2）在网格的求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，再利用勾股定理求其长度.
在数轴上或网格中求线段长的方法.
3.如图，点A表示的实数是 .
1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　）
C
2.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点. 在图中以格点为顶点画一个面积为8的正方形；
解：如图所示，
面积为8的正方形的边长为 .
3.如图，网格中小正方形的边长均为1．你在网格中画出一个△ABC，要求：顶点都在格点（即小正方形的顶点）上；三边长满足AB= ，BC= ，AC= ，并求出该三角形的面积．
则S△ABC =
解：如图，△ABC即为所求：
A
B
C
本节课我们用勾股定理解决了哪些问题呢，说一说你都学到了哪些知识？
利用勾股定理作图或计算
把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边，再在数轴上（或网格线中）表示出该无理数
解决在坐标系或网格中求线段长度等问题
利用勾股定理证明“HL”定理
勾股定理

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