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20.2 勾股定理的逆定理及其逆用
第二十章 勾股定理
01
探索勾股定理逆定理的证明过程，体会命题与逆命题的关系.
02
能利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，了解勾股数的概念.
03
能综合运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，发展应用意识.
图中给出了确定直角的一种方法： 把一根长绳打上等距离的13个结， 然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长， 用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？其依据是什么？
任务一：探索勾股定理逆定理的证明过程,体会命题与逆命题的关系
活动1：下面有四组数分别是一个三角形的三边长a， b， c:
①4、7、9； ②5、12、13；③7、24、25；④8、15、17.
问题1：分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，看看它们是否都是直角三角形.
问题2：观察确定为直角三角形的每组数据，找出它们的三边在数量关系上有什么相同点，据此写出你的猜想.
经测量发现：①4、7、9； ②5、12、13；③7、24、25；④8、15、17.
均为直角三角形.
在数量上：52+122=132，
72+242=252，
82+152=172.
a2 + b2 = c2
猜想：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
活动2：找出下面两个命题的题设与结论，说说两个命题之间的关系.
命题1：如果一个三角形是直角三角形，两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.（勾股定理）
命题2：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
题设和结论正好相反，命题1是勾股定理，所以命题2是勾股定理的逆命题.
思考： 结合你判断直角三角形的经验，尝试说明命题2的真假性.
A　
B　
C　
a
b
c
则A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2
∵a2 + b2 = c2，
∴A'B'2 = c2，A'B' = c
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)，
∴∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形.
证明：
作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a，
已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 .
求证 △ABC 是直角三角形.
这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理. 这个定理叫作勾股定理的逆定理. 它是判定直角三角形的一个依据.
A　
B　
C　
a
b
c
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
任务二：判断直角三角形，了解勾股数.
活动：一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸：DA=4，AB=3，BC=13，BD=5，CD=12.
(1) 这个零件符合要求吗 请验证你的结论.
(2) 求这个零件的面积.
（要求：请说说你的判断方法，谈谈你的收获）
D
A
B
C
D
A
B
C
4
3
5
13
12
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
在△BCD中，
因此，这个零件符合要求.
(1) 这个零件符合要求吗 请验证你的结论.
(2)这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30
=36
故这个零件的面积是36 .
(2) 求这个零件的面积.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形的方法如下：
1.排序：把三条线段按由小到大排列；
2.计算：看较小两条线段边的平方和是否等于最大线段的平方；
3.结论：判断能否构成直角三角形.（最长边所对应的角为直角）
解:（1）因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289=172 ，
所以 82 + 152 = 172 .
是直角三角形.
例 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
（2）因为 142 + 132 = 196 + 169 = 365=152 ，
所以 142 + 132 ≠ 152.
不是直角三角形.
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；
5，12，13；
6，8，10；
7，24，25；
8，15，17；
9，40，41；
10，24，26 ；
……
下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形有 ，其中a，b，c
是勾股数的有 .（填序号）
①a=6，b=8，c=10 ；
②a＝1.5，b＝2，c＝2.5 .
①②
①
任务三：综合运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.
活动1：如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
1
2
N
E
P
Q
R
“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
1
2
N
E
P
Q
R
思考：本题有哪些已知量和未知量？求解思路是什么？
已知：△QPR的三边长，∠1；
未知：∠2；
求解思路：如果能根据△QPR的三边长判定直角三角形，即两艘轮船的航向所成的角是直角，就能得出“海天”号的航向了.
“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
1
2
N
E
P
Q
R
解：根据题意，PQ = 16 × 1.5 = 24，
PR = 12 × 1.5 = 18，QR = 30.
因为 24 + 18 = 30 ，即 PQ + PR = QR ，
所以 ∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°.
因此 ∠2 = 45°，
即“海天”号沿西北方向航行.
活动2：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
A B
C
D
分析：可以根据勾股定理的逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC是否垂直于 AD.
思路：在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD 是不是直角三角形.
思考：如何判断垂直？求解思路是什么？
活动2：如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
A B
C
D
解：因为 AC ⊥ BC，所以 ∠ACB = 90°.
在 Rt△ABC 中，
AC = AB - BC = 5 - 3 = 16.
所以 AC = 4.
在 △ACD 中，AC + AD = 4 + () = ，
CD = () = ，
所以 AC + AD = CD .
因此 △ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD.
1.下列条件中,不能判断一个三角形是直角三角形的是( )
A.三条边的比为1∶2∶3
B.三条边满足关系a2=b2-c2
C.三条边的比为1∶1∶
D.三个角满足关系∠B+∠C=∠A
A
2.已知 a，b，c 是△ABC三边的长，且满足关系式
0，则△ABC的形状是_______________．
等腰直角三角形
解析：∵0，
∴c-a=0，c2+a2-b2=0，
解得a=c，c2+a2=b2，
∴△ABC的形状是等腰直角三角形.
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行进了12×2=24(km)，
B组行进了9×2=18(km)，
又∵A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B两组行进的方向成直角．
4.如图，已知AB⊥BC，AB=2，BC= ，CD=5，DA=4，求四边形ABCD的面积.
解：如图，连接AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AC== =3.
在△ACD中，AC +AD =3 +4 =5 =CD .
由勾股定理的逆定理，得∠CAD=90°.
所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=×2×+×3×4=+6.
勾股定理
的逆定理
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
内容
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
应用
解决面积、线段长、角度等实际问题.
判定一个三角形是否是直角三角形.

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