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(共42张PPT)
微专题16　非线性回归问题
导言　高考中关于回归问题的考查也许会成为“黑马”，解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程转化为我们熟悉的经验回归方程．
C
A. 满足一元线性回归模型的所
有假设
B. 不满足一元线性回归模型的
E(e)＝0的假设
C. 不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设
D. 不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设
2 某市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1日～9月9日连续9天的呼吸机日生产量为yi(单位：百台，i＝1，2，…，9)，数据作了初步处理，得到如图所示的散点图．
由散点图分析，样本点都集中在曲线y＝ln(bt＋a)的附近，则y关于t的方程为__________________，请估计该公司从生产之日起，至少需要________天呼吸机日生产量可超过500台．(参考数据：e5≈148.4)
y＝ln(4t－1)
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3 [人教A版选必三P139复习参考题8T7]汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损．某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，请根据数据建立轮胎凹槽深度和汽车行驶里程的关系，并解释模型的含义.
行驶里程/万千米 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57
轮胎凹槽深度/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82
行驶里程/万千米 3.22 3.86 4.51 5.15
轮胎凹槽深度/mm 5.20 4.55 4.16 3.82
解：作出散点图如图所示．
通过散点图可知，散点落在某条曲线附近．
设曲线方程为y＝c1ec2x，则lny＝lnc1＋c2x.
令lny＝t，则t＝c2x＋lnc1，
故可得到新数据：
由新数据作出散点图如图所示．
发现散点图呈现出很强的线性相关关系．
x 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15
t＝lny 2.30 2.12 2.00 1.87 1.76 1.65 1.52 1.43 1.34
要点指引
1. 由经验确定非一元线性回归模型的类型(如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等)．
2. 通过换元，将非一元线性回归模型转化为一元线性回归模型．
难点1　由散点图推测回归模型
　[2025昆明模拟节选]云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一，从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩．目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右．近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图所示．
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经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：y＝bx＋a与模型②：y＝clnx＋d(a，b，c，d均为常数)中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积y关于年份代码x的经验回归方程模型，并求出y关于x的经验回归方程.
思路引导：本题考查散点图，非一元线性回归模型的应用．题干关键：根据散点图的形状，可判断更适宜作为云南省花卉种植面积y与年份代码x的经验回归方程模型，令u＝lnx，将非一元线性回归模型转化为一元线性回归模型．利用表中的数据和一元线性回归模型的公式求解即可．
解：由散点图可知，y＝clnx＋d更适合作为云南省花卉种植面积y关于年份代码x的经验回归方程模型．
令u＝lnx，则y＝cu＋d.
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题均涉及根据散点图判断经验回归方程模型，通过换元构造线性相关，利用提供的数据和线性回归模型的公式求解．　
变式训练　[2025上海模拟]如图给出了某
种豆类生长枝数y(单位：枝)与时间t(单位：月)
的散点图，则此种豆类生长枝数与时间的关系
用下列函数模型近似刻画最好的是(　 　)
A. y＝2t2
B. y＝log2t
C. y＝t3
D. y＝2t
D
【解析】 从所给的散点图可以看出图象大约过点(1,2)和(2,4)，将这两个点代入所给的四个解析式发现只有y＝2t最合适．另外，根据图象可知，图象呈指数增长的形式，故y＝2t最合适．
难点2　非线性回归分析
[2025沈阳月考]红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y(单位：个)和温度x(单位：℃)的8组观测数据，制成如图1所示的散点图，现用两种模型①y＝ebx＋a，②y＝cx2＋d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图2所示的残差图．
2
图1
图2
(1) 根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2) 求出y关于x的经验回归方程．
思路引导：本题考查散点图，残差图，非一元线性回归模型的应用．(1) 根据残差图的形状，可判断更适宜作为一只红铃虫的产卵数y与温度x的经验回归方程模型；(2) 通过换元z＝lny，转化为一元线性回归模型．利用表中的数据和经验回归方程公式求解即可．
解：(1) 因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适．
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均涉及非一元线性回归模型，通过换元，将非一元线性回归模型转化为一元线性回归模型．　
变式训练　[2025泰安月考]某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得了较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
年收入y/千元 59 61 64 68 73
(1) 根据表中数据，现决定使用y＝bx2＋a模型拟合y与x之间的关系，请求出此模型的经验回归方程(结果保留一位小数)；
(2) 统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果．在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求．请判断(1) 中经验回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由．
题后反思
常见的非一元线性回归模型，通过转化，然后按一元线性回归模型求出系数．
(1) 指数函数型y＝cax(a>0且a≠1，c>0)：两边取自然对数，得lny＝ln(cax)，即lny＝lnc＋xlna，
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e10
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2 [2025南阳一中月考]近年来，我国众多新能
源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革
新，利润稳步提高．统计该企业2020～2024年的利
润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2020
～2024年对应的年份代码依次为1,2,3,4,5.
(1) 根据散点图判断y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2) 根据(1) 中的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；
(3) 根据(2) 的结果，估计2025年的企业利润．
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解：(1) 由散点图的变化趋势，知y＝c＋dx2适宜作为企业利润y关于年份代码x的经验回归方程模型．
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