资源简介

(共45张PPT)
微专题14　组合数的性质
导言　高考关于组合数性质的考查，往往与数列、概率知识结合考查．对组合数恒等式的考查，重点是二项式系数的性质、数学文化与杨辉三角等问题，构造函数赋值法、构造问题双解法、拆项法等都是研究一些组合数恒等式(或求和)的常用方法．
1 [人教A版选必三P34习题6.3T1(1)]在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　 　)
A. 74 B. 121
C. －74 D. －121
D
2 如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列的前30项的和为(　 　)
A. 680 B. 679
C. 816 D. 815
D
6
4 [人教A版选必三P38复习参考题6T1(7)](1＋x)2n的展开式中，系数最大的项是第________项．
【解析】 因为在(1＋x)2n的展开式中，第r＋1项的系数与第r＋1项的二项式系数相同，且二项展开式共有2n＋1项，中间项的二项式系数最大，所以第n＋1项的系数最大．
n＋1
要点指引
1. 几个常用组合恒等式及其实际背景：
实际背景1：从n个不同的红色球和n个不同的蓝色球中取出n个球．
实际背景2：(x＋1)n(1＋x)n＝(x＋1)2n的展开式中含xn的项的系数．
2. 杨辉三角至少具有以下性质：
(1) 每一行都是对称的，且两端的数都是1.
(2) 从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
难点1　组合恒等式
1
思路引导：本题考查二项分布及其应用，组合数的性质. (1)题干关键：赛制规则为每个球胜者得1分，负者得0分．各球的胜负相互独立．由此可知直接由二项分布概率计算公式即可求解；(2) 题干关键：qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．由pk同理得到qk；(3)将(2)从特殊到一般思考，结合组合数性质证明不等式．
(1) 解：因为p3为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，
所以只能甲胜三场，
即p2m－p2m＋1>q2m－q2m＋1，所以p2m＋1－q2m＋1要证p2m－q2m对于p2m＋2，考虑前2m个球的情况：若打完2m个球后，甲比乙得分少，则剩下两个球(第2m＋1,2m＋2个球)无论甲胜负，甲都不可能比乙至少多得2分；若打完2m个球后，甲、乙得分一样，则剩下两个球甲必须全胜才能满足甲比乙至少多得2分；若打完2m个球后，甲比乙恰好多
得2分，则剩下两个球甲全胜，或一胜一负都能满足甲比乙至少多得2分；若打完2m个球后，甲比乙至少多得4分，则剩下两个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分，
即p2m＋2－p2m>q2m＋2－q2m，
所以p2m－q2m综上，p2m＋1－q2m＋1变式训练　[2025广州零模T14改编] 随机将1,2,3，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记Xn＝|a－b|.
(1) 分别求X2，X3的概率分布及数学期望；
(2) 写出Xn的概率分布；
(3) 若对任意n∈N*，n≥2，E(Xn)题后反思　在排列、组合及二项式定理的基础上，我们可以推导出很多含有组合数的恒等式，这些恒等式在组合数的化简、计算及证明过程中有着重要的作用．
难点2　杨辉三角
(多选)[2025郑州期末]杨辉是我
国古代数学史上一位著述丰富的数学家，
著有《详解九章算法》《日用算法》和
《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详
解九章算法》给出了如图1所示的表，我们
称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数
字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年
左右，由此可见我国古代数学的成就是非
常值得中华民族自豪的．
2
图1
图2
A. 在第2 024行中，第1 012个数最大
B. 杨辉三角中第8行的各数之和为256
根据以上材料，下列说法中正确的是(　 　)
BC
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题均涉及二项式定理与杨辉三角，通过组合数的性质研究数阵．　
变式训练1　杨辉三角，又称帕斯卡三角，
是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在
我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》
(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项
式乘方展开的系数规律，现把杨辉三角中的数
从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1，…，记作数列{an}．若数列{an}的前n项和为Sn，则S47等于(　 　)
A. 235 B. 512
C. 521 D. 1 033
C
变式训练2　(多选)我国南宋数学
家杨辉1261年所著的《详解九章算法》
一书中展示了二项式系数表，数学爱
好者对杨辉三角做了广泛的研究，下
列结论中正确的是(　 　)
A. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
C. 第2 026行的第1 013个数最大
D. 第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2∶11
ABD
2
4
1
3
1 [2025菏泽期末改编]在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n＋2的展开式中，含x2的项的系数是(　 　)
C
2
4
1
3
C
2
4
3
1
3 (多选)[2025江西二检]如图，“杨辉三角”是二项式系数的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是( )
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
……
BC
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1

展开更多......

收起↑