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19.1 二次根式及其性质
课时1 二次根式的概念
第十九章 二次根式
01
理解二次根式的概念，能用二次根式表示实际问题中的数量关系.
02
能根据二次根式的概念求出二次根式有意义的条件.
【问题3】什么数有算术平方根
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
【问题1】什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
【问题2】什么叫做算术平方根
如果x2=a(x≥0),那么x称为a的算术平方根.用 表示.
任务一：理解二次根式的概念、用二次根式表示数量关系
(1)一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m ，则它的宽为 m.
(2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 .
活动1：请大家用带根号的式子填空，思考得出的结果分别表示什么意义，有怎样的特点，说说你的看法.
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下时离地面的高度 h (单位：m) 的关系近似为 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 .
上面问题中，得到的结果分别是：，，．
它们分别表示65，，的算术平方根．
像这样一些正数的算术平方根的式子，我们把它称为二次根式．
新知生成
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. “”称为二次根号.
二次根式也是代数式.
活动2：你能判断下面各式中哪些是二次根式吗？简要说说你的判断方法.
×
×
×
×
被开方数是否为非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
方法提炼
是否含二次根号
1.若某物体下落高度h与下落时间t满足关系h=4.9t2,则t= 　 .
2.下列式子中，是二次根式的有 .
（1） ； （2）6； （3） ； （4）
（5） (x,y异号)； （6） ； （7）
（1）
（4）
（6）
小组活动：请解答下列问题，尝试归纳二次根式有意义的条件.
任务二：运用二次根式的概念求出二次根式有意义的条件
（2）当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
（1）当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
x ≥ 6.
(2)由 ≥0，得
当x ≥ 6时， 在实数范围内有意义.
解：（1）依题意可知，当x≥0时， 在实数范围内有意义.
二次根式中被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个式子，但必须保证有意义.
当a表示一个数时，要使有意义，则a为非负数；若a表示一个式子，则这个式子必须大于或等于0.
3.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
x ≥0且x≠2
此类题要注意结合二次根式的概念和分式的意义，即被开方数大于等于0且分母不等于0这两个条件，列不等式(组)求解．
方法提炼
1.下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
2.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥0　　　　　　 B．x＞0　　　　　　C．x＜0　　　　　　D．x为全体实数
D
3.一物体由静止开始沿斜坡下滑的距离s(单位：m)与运动时间t(单位：m)满足关系 ，如果用含有s的式子表示t，则t= ；当s=5时，
t的值是 .
4.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ； （3）
解:(1)由题意得-a≥0，
∴a≤0 .
∴当a≤0时， 在实数范围内有意义.
(2)由题意得5-a＞0，
∴a＜5 .
∴当a＜5时， 在实数范围内有意义.
(3)由题意得x+3≥0，x-1≠0，
∴x≥-3，x≠1.
∴当x≥-3且x≠1时， 在 实数范围内有意义.
针对本课的关键词“二次根式”，说一说你都学到了哪些知识？
二次根式
概念
判断方法
有意义的条件
被开方数是否为非负数
是二次
根式
不是二次根式
是
是
否
否
是否含二次根号
形如 (a≥0)的式子
对于二次根式，当a≥0时，式子有意义

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