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19.1 二次根式及其性质
课时1 二次根式的概念
1.了解二次根式的概念.
2.理解二次根式中被开方数的非负性，会求使形如的式子有意义时字母的取值范围.
问题1 什么叫作平方根
问题2 什么叫作算术平方根
问题3 什么数有平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.
如果（≥0）,那么称为a的算术平方根.用(表示.
我们知道，负数没有平方根.
因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
(1) 一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m ，则它的宽为 m.
解析：长方形的面积 130＝长(2x)×宽(x)
2x2＝130
x2＝65
思考：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
(2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 .
解析：
S大正方形 = a2 ＋1
边长 =
思考：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下时离地面的高度 h (单位：m) 的关系近似为 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 .
解析：开始落下的高度 h = 5t2 (t＞0)
h = 5t2
根指数都为2，被开方数都是非负数
不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根.
问题1 上面问题中，得到的结果，，，这些式子有什么意义？有什么共同点？
分别表示 2Rh，65，， 的算术平方根
问题2 是否存在，为什么呢？
二次根式的定义
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式.
注:（1） 中的既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.
（2）已知 是二次根式，就意味着满足≥0.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
1.给出下列式子：
①； ②；③； ④；
⑤； ⑥； ⑦.
其中一定是二次根式的是_________.（只填序号）
①④⑦
例 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？
解：由≥0，得 x≥2.
当x≥2时，在实数范围内有意义.
思考 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？呢？
因为 x ≥ 0，所以 x 可以为任意实数.
要使 x ≥ 0，必须 x ≥ 0 .
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
2.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2).
解：(1)由≥0且3-≠0，得3->0，∴<3.
∴当<3时，在实数范围内有意义.
(2)由 x－4≥0，得 x≥4．
由 x－6≠0，得 x≠6．
当 x≥4 且 x≠6 时，在实数范围内有意义．
二次根式
二次根式的概念
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式.
形如的式子有意义的条件
被开方数为非负数
.
1.下列各式是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
A
2.要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2，它的长、宽各应取多少？
解：设这个长方形的长、宽分别为3x cm， 2x cm.
由题意得，
所以
所以
所以
即这个长方形的长应取cm, 宽应取cm.
3.（1）当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
（2）若式子有意义，求x 的取值范围.
解：(1) 由题意，得 解得 .
所以当时，在实数范围内有意义.
(2) 由题意，得 , 得 .
所以当时，有意义.

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