资源简介

19.1 二次根式及其性质
课时2 二次根式的性质
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
2.会运用二次根式的性质进行化简计算.
解：正方形的边长为????，
用边长表示正方形的面积为(????)2，
又∵面积为a，
即(????)2=????.
?
如图是一块正方形地毯，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
知识点1：二次根式的双重非负性
思考：当 a≥0 时，????的大小是怎样的呢？
?
有意义
a≥0
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}形如( 一般 )
意义
大小
总结
(a＞0)
(a = 0)
表示 a 的算术平方根
表示 0 的算术平方根
＞0
＝0
当 a≥0 时，
≥0
二次根式的被开方数或式非负(a≥0)
二次根式的值非负
(????≥0)
?
二次根式????的双重非负性
?
二次根式的实质是表示一个非负数 (或式) 的算术平方根.对于任意一个二次根式????.
?
1.若???? + |b| + c2 = 0，则????=___；b=___；c=___.
?
0
点拨：
①三类常见的非负数：???? (????≥0)，|????|，????2.
②若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0.
?
0
0
算术平方根之门
平方之门
0
探究1：(1)下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
14
?
-4
-1
a
1
我们都是非负数哟！
12
?
14
?
????
?
(????)2
?
a≥0
知识点2：(????)????（a≥0）的性质
?
32=____；?0.52=____；132=____；?02=____.
?
3
0.5
13
?
0
解：3是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，3是一个平方等于3的非负数，因此，(3)2=3.
同理，0.5，13，0分别是0.5，13，0的算术平方根，即得上面的等式.
?
探究1：(2)根据算术平方根的意义填空：
思考：通过(1)(2)的探究，你能确定(???? )?(a≥0)的化简结果吗？说说你的理由.
?
(????)?(a≥0)的性质：
?
一般地， (????)? ＝a (a ≥0).
?
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件. 这是使二次根式????有意义的前提条件.
?
例1 计算： (1) (1.5)2； (2) (25)2.
?
解：
(1) (1.5)2=1.5；
?
(2) (25)?2=22×(5)2=4×5=20
?
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：(ab)2=a2b2
2.计算：
①(5)2； ②(-0.2)2； ③(35)2 .
?
解：①(5)2 =5； ②(-0.2)2 =(0.2)2 =0.2；
③(35)2 = 35；
?
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
1
a
14
?
????2
?
a2
16
4
1
116
?
14
?
我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.
a为任意数
探究2：(1)下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
知识点3：????2的性质
?
22=?______；0.12=?______；232=?______；02?=?______.
?
探究2：(2)填空：
思考：通过(1)(2)的探究，你能确定????2(a≥0)的化简结果吗？
?
2
0.1
23
?
0
一般地，????2?＝a (a ≥0).
?
即一个非负数的平方的算术平方根等于这个数本身.
思考 当a为任意实数时，????2都有意义，如果前一探究中的a为负实数，那么下面各式还成立吗？请填空并回答.
?
...
平方运算
算术平方根
-2
-0.1

...
49
?
2

...
?23
?
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
0.01
4
????2
?
????2?
?
0.1
23
?
????????的性质：
?
????2=?|????|?=?????(????≥0)，?????????(????<0).
?
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
注意：????2中的????可以是任意实数，但计算结果不一定是????.
?
例2 化简：
(1) 16. (2) (?5)2.
?
解：(1) 16 =42 =4.
(2) (?5)2=52 =5.
?
( )
( )
( )
( )
(1)?22=?2(2)?22=?2(3)?22=?2(4)??22=?2
?
3.请同学们快速分辨下列各题的对错．
?22=|?2|=2
?
?22=22=2
?
×
×
√
√
思考 如何区别(????)2与????2?？
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
(????)2
????2
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
二次根式的性质
????≥0 (????≥0)(双重非负性)
?
(????)2=????(????≥0)
?
????2=?|????|?=?????(????≥0)，?????????(????<0).
?
1.化简(?2)2的结果是( )
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
?
C
2. 当1A.3 B.-3 C.1 D.-1
?
D
解:
3.计算：
(1) (0.76)2； (2) (15)2；
(3) (?2)2； (4) (?1.2)2.
?
(1) (0.76)2=0.76；
?
(2) (15)2=15；
?
(3) (?2)2=22=2；
?
(4) (?1.2)2= 1.22=1.2.
?
4.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a-2|+(?????1)2.
?
-1
0
1
2
a
解：由题意，得1＜a＜2，
∴?????1＞0，a-2＜0.
∴|a-2|+(?????1)2
= |a-2|+ |a-1|
= 2-a+a-1
=1.
?
5.已知a,b,c是△ABC的三边长，化简：
(????+????+????)2?(????+?????????)2+(??????????????)2.
?
解：∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-(b+c-a)+(b+a-c)
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．

展开更多......

收起↑