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19.2 二次根式的乘法与除法
课时1 二次根式的乘法
1.了解二次根式的乘法法则.
2.能运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
清明上河图是中国十大传世名画之一，下图是清明上河图局部图，已知它的长为cm，宽为cm，那么你知道它的面积是多少么？
你知道这是什么运算？又如何进行计算呢？
问题1：类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算？
问题2：两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？
问题3：猜一猜，的积应该是多少？
加、减、乘、除四则运算
能
从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！
知识点1： 二次根式的乘法
(1) ___________；
(2) _________；
(3) =__________.
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
2
3
6
4
5
20
6
7
42
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
思考 能用字母表示你所发现的规律吗？
(1)
(2)
(3)
猜测：
你能证明这个猜测吗？
· = (a≥0，b≥0).
证明：根据积的乘方法则，有(·)2=()2·()2=ab，
∴·就是ab的算术平方根.
又∵表示ab的算术平方根，
∴· = (a≥0，b≥0) .
求证：
· = (a≥0，b≥0).
二次根式相乘，___________相乘，________不变.
根指数
被开方数
注意：
①≥0，b≥0是此法则成立的前提条件.在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
②本节法则中的a，b既可以是一个数，也可以是其他代数式.
一般地，二次根式的乘法法则是
· = (a≥0，b≥0).
例1 计算：.
解：(1)× ==.
(2)× == = 3.
(3)× = = = .
想一想：
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则.
解：
只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即：
可类比单项式乘单项式的法则计算.
解：
当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即：
想一想：
1.计算：
×； ③××.
解：① ；
②×2=×2 =-6；
③×× = =.
把· = (a≥0，b≥0)反过来，就得到
注意：各个因数或因式必须非负，如
= ×
= = √
知识点2：积的算术平方根的性质
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
(a≥0，b≥0).
积的算术平方根
例2 化简： (1) ； (2) .
解：(1)
= 4 × 9
= 36.
(2)
=·
.
(2)中 4a2b3 含有像 4，a2，b3，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
2.化简：
①； ②； ③； ④.
解：① = =× =10.
②==×=2×9=18.
③ =
=× =5×3=15.
④ = =·=2a.
例3 计算：
解：
二次根式的性质
二次根式乘法：
正用：计算
逆用：化简
简单应用
积的算术平方根
1.若 ，则（　　）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
A
2. 计算：
（1）；
（2）；
解：（1）原式== ；
（2）原式==.
（3）；
（4）.
解:（3）原式 = ；
（4）原式 = · · · = 4bc .
（3）；
（4）.
3.已知 =a ， =b，试用a，b表示.
解：∵×===×=10.
又∵=a，=b.
∴ab=10.
∴=ab.

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