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20.1 勾股定理及其应用
课时1 勾股定理
1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理．
2.会运用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题．
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余.
A
B
C
a
b
c
根据我国数学典籍《周牌算经》开篇，商高（约公元前 11 世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩其长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.
商高所指的面积关系可以用图形表示. 如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形.
所得正方形的面积分别为____，____，____.
9
16
25
面积之间的数量关系是:_________________.
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
3
4
5
探究1 如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？
问题1：C1，C2，C3 的面积你会求吗？
提示：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.
转化思想(补形法)
问题2：它们的面积之间有什么关系？
A1的面积＋B1的面积＝C1的面积； A2的面积＋B2的面积＝C2的面积；
A3的面积＋B3的面积＝C3的面积.
问题3：以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
18
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么
a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.
（勾股定理）
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
a
b
c
b
a
b
c
a2 + b2
左边：
c2
右边：
a2 + b2 = c2
a
赵爽弦图证明勾股定理:
a2 + b2 = c2 .
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
探究2 根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？
a
b
c
b－a
= c2，
= (b－a)2，
= 4S三角形 + S小正方形，
c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2.
例 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解：在Rt△ABC 中，
根据勾股定理，AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100，
所以 AB = 10.
已知两直角边长，求斜边长.
B
6
8
A
C
E
D
F
15
17
(1)
(2)
例 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
E
D
F
15
17
(2)
已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.
在 Rt△DEF 中，
根据勾股定理，DE2 + EF2 = DF2，
从而 DE2 = DF2－EF2
= 172－152 = 64，
所以 DE = 8.
这节课有什么收获呢？
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么
a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
勾股定理
1.下列说法中，正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
C
2. 求下列图中未知数 x，y 的值：
解：由勾股定理可得
81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
解：由勾股定理可得
y2 + 144 = 169，
解得 y = 5.
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
3.在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
解：
(1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得
x2 + (2x)2 = 52，
解得
因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得
(2x)2 - x2 = 152，
解得
(2) ∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴c＝2a.

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