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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
课时1 勾股定理的逆定理
1.经历探索勾股定理逆定理的证明过程，体会命题与逆命题的关系.
2.能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形．
3.了解勾股数的概念．
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？
形
结论：a2 + b2 = c2.
题设(条件)：直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c.
数
A
C
B
a
b
c
思考 反过来，如果一个三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2. 那么这个三角形的题设和结论是怎样的？
结论：这个三角形是直角三角形.
题设(条件)：三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2.
结论能成立吗？
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
这个三角形三边有什么关系吗？
4
3
5
32 + 42 = 52
这个三角形是直角三角形.
满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形都是直角三角形吗？
观察 画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
猜想 如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
42 + 7.52 = 8.52
已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 .
求证 △ABC 是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
△ABC△ A′B′C′ 　　
∠C 是直角　　　
△ABC 是直角三角形　　
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
分析：
已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 .
求证 △ABC 是直角三角形.
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A'C’ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC△A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
A
C
B
b
a
c
A′
C′
B′
b
a
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
它是判定直角三角形的一个依据.
例 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
解:（1）因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289=172 ，
所以 82 + 152 = 172 .
是直角三角形.
例 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
（2）因为 142 + 132 = 196 + 169 = 365=152 ，
所以 142 + 132 ≠ 152.
不是直角三角形.
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
① 找：找三角形的最长边；
② 算：计算最长边的平方与另两边的平方和；
③ 判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2.一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 ( )
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
A　
B　
C　
a
b
c
勾股定理：
在 Rt△ABC 中，
若∠C = 90°，
则___________
勾股定理的逆定理：
回顾所学，并完成下列框图.
互逆定理
a2 + b2 = c2
在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°.
2．在△ABC中， ∠A ，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，且
(a＋b)(a－b)＝c2，则（　　）
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
A
1．下列各组数是勾股数的是（　　）
A．3，4，7 B．5，12，13
C．1.5，2，2.5 D．1，3，5
B
3.如图，已知AB⊥AD，AB＝4，BC＝12，CD＝13，AD＝3，能判断BC⊥BD吗？证明你的结论．
解：BC⊥BD．证明如下：
∵AB⊥AD，
∴△BAD是直角三角形，
∴＝ 25．
在△BCD中，
∵ ，
∴△BCD是直角三角形，且CD为斜边，∠CBD＝90°．
∴BC⊥BD．
4.已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，，；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0），
它们是否分别构成直角三角形？
（1）在1，，中，是最大边长，
因为1＋2＝3＝，
所以边长为1，，的三角形是直角三角形．
（2）在2，3，4中，4是最大边长，
13≠，
所以边长为2，3，4的三角形不是直角三角形．
解：
（3）在3n，4n，5n（n＞0）中，5n是最大边长，
，
所以边长为3n，4n，5n（n＞0）的三角形是直角三角形．
4.已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，，；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0），
它们是否分别构成直角三角形？

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