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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
课时2 勾股定理及其逆定理的综合应用
1.熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识．
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！
例1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
分析：由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
解：根据题意，
PQ = 16 × 1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，
QR = 30.
因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，
所以∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
数学思想
实际问题
数学问题
转化
建模
1. A、B、C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 在 B 地的什么方向？
解：∵ BC2 + AB2 = 52 + 122 = 169，
AC2 = 132 = 169，
∴ BC2 + AB2 = AC2.
即△ABC 是直角三角形，
∠B = 90°.
答：C 在 B 地的正北方向．
A
B
C
5 cm
12 cm
13 cm
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD.
5
3
解：因为 AC ⊥ BC，所以 ∠ACB = 90°.
在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2 = AB2－BC2 = 52－32 = 16.
所以 AC = 4.
5
3
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
应用勾股定理
4
5
3
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
4
AC2 + AD2 =42 + ，
CD2 =，
所以 AC2 + AD2 = CD2.
因此△ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD.
应用勾股定理的逆定理
2. 如图，在△ABC 中，AB = 17，BC = 16，BC 边上 的中线 AD = 15，试说明：AB = AC.
解：∵ BC = 16，AD 是 BC 边上的中线，
∴ BD = CD = BC = 8.
∵在△ABD 中，AD2 + BD2 = 152 + 82 = 172 = AB2，
∴△ABD 是直角三角形，即∠ADB = 90°．
∴在 Rt△ADC 中，
∴AB = AC.
实际问题
抽象
数学模型
勾股定理及其逆定理
答案
实际意义
1. 小明先向东走了 80 m，然后换了一个方向走了 60 m，再换第三个方向走了 100 m，此时恰好回到原地 . 小明向哪个方向走了 60 m？请说明理由.
解：小明向北或南走了 60 m. 理由如下：
小明的行走路线恰好构成三角形.
∵602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 = 1002 ，
∴ 这个三角形是直角三角形.
∵ 小明先向东走了 80 m，∴小明向北或南走了 60 m.
综合运用
2. 在△ABC 中，AB = 13，BC = 10，BC 边上的中线 AD = 12. 求 AC 的长.
A
B
C
D
12
13
10
解：在△ABD 中，BD = CD = BC = ×10 = 5，AD = 12，AB = 13.
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169，AB2 = 132 = 169，
∴BD2 + AD2 = AB2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB = 90°.
在△ADC 中，∠ADC = 180°－∠ADB = 90°，
由勾股定理，AC2 = AD2 + CD2 =122 + 52 = 132，∴AC = 13.
3.如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC＝90°，AD＝12m,
CD＝13 m，学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这块空地共需花费多少元．
解：如图，连接AC，在Rt△ABC中，
∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AC＝5 m．
∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2＋AD2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2），
铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）．
答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元．
3
4
12
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