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19.1 二次根式及其性质
课时1 二次根式的概念
学 习 目 标
1.理解二次根式的定义，能准确识别形如????（????≥0）的式子是二次根式，明确“根号形式”与“被开方数非负”的双重特征.
2.掌握二次根式有意义的条件，能熟练求解含字母的二次根式中字母的取值范围.
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引言 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广.
实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径r之间存在近似关系r=2?????，其中R是地球半径，R≈6400 km.
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数量和数量关系
整式
分式
表示
含有根号的式子？
其实，在之前学习平方根时，我们就已经接触过了根号这一数学符号，你还记得平方根及其相关的知识吗？根号下的数有什么特点？
平方根
定义：如果一个数的平方等于a（a≥0），即????2=????,那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）
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算术平方根
定义：对于非负实数a(即a≥0)，存在唯一的非负实数x，使得????2=????，则称x为a的算术平方根.
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特殊情况
注：只有非负实数才具有平方根.
（1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m?，则它的宽为____m.
（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为__________.
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设长方形的宽为x米
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可得方程 2x2=130
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x=65
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65
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S=a2
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S=12
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大正方形面积=????2+1
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思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
a2+1
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（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为______.
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两边除以5，得：?t2=h5
?
由于时间t为正数，取算术平方根：?t=h5?
?
h5?
?
????????
?
????????+????
?
????????
?
????????????
?
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子都有什么特点？
分别表示65，a2+1，????????，2Rh的算术平方根．
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结合以上特点，你能否总结出二次根式的定义？
②根指数都是2；
③被开放数都是非负数.
①它们都表示一些数算术平方根；
定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫作二次根式.
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注： a中的????可以是一个数，也可以是一个式子，但都要保证非负.
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“?”叫做“二次根号”
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二次根式的特点
一定含有二次根号“”
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被开方数a≥0
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1. ????是任意实数，下列各式中：
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①a+2；②2a4；③a2+3；④a2+6a+9；⑤a2?3
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一定是二次根式的是_______.
式子中是否含有二次根号
含有
被开方数是否为非负数
是
二次根式
非二次根式
不含有
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不是
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结合过程分析，①⑤中a并非对任意实数都成立，故不是二次根式.
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②③④
思考 二次根式a中，a为什么不能是负数？
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①二次根式的本质是“算术平方根”，它表示非负数a的算术平方根.
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②在实数范围内，任何实数的平方都是非负数，因此实数的平方性质也限制了被开方数的范围.
③如果a是负数，a在实数范围内无意义.
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例 当x满足什么条件时，x?2在实数范围内有意义？
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解：由x?2≥0，得
?
x≥2
?
当x≥2时，x?2在实数范围内有意义.
?
思考 当x满足什么条件时，x2在实数范围内有意义？x3呢？
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x2的被开方数是x2
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x3的被开方数是x3
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x2对任意实数x都有意义
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x3有意义的条件是x≥0
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x2≥0对所有实数x成立
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立方的符号与底数一致
2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
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(1)3?2x????????????? (2)????+3?????1
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解：(1)由3?2x≥0，得x≤32，
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当x≥32时，3?2x在实数范围内有意义.
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(2)由x+3≥0，得x≥-3，
由分母不能等于零，即x-1≠0，得x≠1.
所以当x≥-3且x≠1时，????+3?????1在实数范围内有意义.
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(1)单个二次根式如????有意义的条件：A≥0；
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(2)多个二次根式相加如????+????有意义的条件：????≥0；????≥0；
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(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0.
二次根式的有意义的条件
二次根式
定义
在有意义条件下求字母的取值范围
含有二次根号
被开方数为非负数
被开方数≥0
分母≠0
1.下列式子：①4；②????+3；③2?????；④?7；⑤2????2+1；⑥????2+3????+6，其中是二次根式的有( 　)
A．1个　　　　B．3个　　　　C．4个　　　　D．5个
?
B
2.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?
(1)?????1； (2)14?3????.
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解：(1)由a?1≥0，得 a≥1.
当a≥1时，?????1在实数范围内有意义.
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(2)由4－3x>0，解得x<43.
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当x<43时，14?3????有意义.
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解：依题意，得(b－2)2＋?????5＝0，
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3.△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足b2－4b＋4＋?????5＝0，求c的取值范围．
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∴b＝2，a＝5.
又∵a，b，c为三角形的三边长，
∴34.已知x，y为实数，且y= ?????9?? 9????? + 4，求????????的算术平方根.
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解：因为x，y为实数，y= ?????9?? 9????? + 4，
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所以?????9≥0,?9?????≥0.?
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所以???????? = 9×4=6，
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所以x=9，y=4.
所以????????的算术平方根为6.

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