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19.1 二次根式及其性质
课时2 二次根式的性质
学 习 目 标
1.理解并掌握二次根式的两个核心性质(????)2（a≥0）和a2=∣a∣，明确两个性质的本质区别与适用条件.
2.能灵活运用上述性质进行二次根式的计算和化简，解决具体数学问题.
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二次根式有意义的条件
我们把形如a（a≥0）的式子叫作二次根式，那么二次根式比起整式和分式有什么不同呢？它有什么性质？
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上节课我们学习了什么是二次根式，你还记得二次根式的概念及有意义的条件吗？
二次根式
含有二次根号“”
?
被开方数a≥0
?
①当a>0时，
?
a表示a的算术平方根
?
a>0
?
②当a=0时，
?
a表示0的算术平方根
?
a=0
?
a≥0?a≥0
?
双重非负性：二次根式的被开方数a≥0，二次根式本身a≥0.
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思考 当????≥0时，二次根式????本身具备什么特征？
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分析：根据二次根式的双重非负性
1.已知m?3+n+2=0，求m+n的值.
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两个非负数的和为0，只有当每个非负数都为0时成立
m?3=0?且?n+2=0
?
m?3≥0，n+2≥0
?
解：因两者之和为0，故m?3=0，n+2=0
?
解得m=3，n=?2
?
因此m+n=3+?2=1
?
“0+0”型
?
探究1 根据算术平方根的意义填空：
(3)2=_____；
?
(0.5)2=______;
?
(13)2=______;
?
(0)2=______;
?
这些式子都可以看作(????)2中????取不同值时的情况
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a的值
?
????
?
3
?
0.5
?
13
?
0
?
算术平方根
?
3
?
0.5
?
13
?
0
?
(a)2
?
平方运算
?
(3)2=3
?
(0.5)2=0.5
?
(13)2=13
?
(0)2=0
?
3
?
0.5
?
0
?
13
?
通过计算，你能猜出(????)2(a≥0)的结果吗？
?
性质1：(????)2=????（????≥0）
?
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件. 这是使二次根式????有意义的前提条件. a 可以是数，也可以是式.
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例1 计算： （1）(1.5)2； （2）(25)2．
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解：（1）（1.5）2=1.5；
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（2）（25）2
?
=22×(5)2
?
=4×5=20
?
分析：直接利用(a)2=a（a≥0）即可
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本题用到了(ab)2=a2b2这个性质．
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22=_______； 0.12=______； 232=______； 02=______．
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探究2 填空：
这些式子都可以看作a2中????取不同值时的情况
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a的值
?
????2
?
2
?
0.1
?
23
?
0
?
平方运算
?
22
?
0.12
?
232
?
02
?
a2
?
算术平方根
?
22=2
?
0.12=0.1
?
232=23
?
02=0
?
2
?
0.1
?
0
?
23
?
通过计算，你能猜出a2（a ≥ 0）的结果吗？
?
思考1 当 a 为任意实数时，????2都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
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通过以上的探究，我们可以的得到如下结论：
????2 =????（????≥0）
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不成立，理由如下：
a2表示a2的算术平方根
?
结果必然是非负
当a为负实数
?
????2=?????
?
思考2 当a<0时，????2的结果是多少？你是怎样想的？
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∵ a＜0，
∴ ?a＞0，
?
则????2 = (?????)2 = ?a
?
性质2：???????? = |a| =?????(????≥????)，??????(????＜????).
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把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
例2 化简： （1）16； （2） （?5）2?．
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（2）?（?5）2=52=5．
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解：（1）16=42=4
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也可以写成 （?5）2=∣?5∣=5
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思考 如何区别(???? )2与????2?？
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
(???? )2
????2
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
二次根式的性质
????????=∣????∣
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对任意实数a成立，结果是a的绝对值
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仅当a≥0时成立，结果是a本身
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双重非负性
二次根式的被开方数a≥0，二次根式本身a≥0
?
(????)????=????
?
2.若(2?????1)2=1?2a，则a的取值范围为（? ??）
A．a<12 B．a>12 C．a≤12 D．a≥12
?
C
1.下列各式中，正确的是(　 　)
B　
A．(?4)2＝－4 B．－42＝－4
C．(±4)2＝±4 D．42＝±4
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3.计算与化简：
（1）2(6)2； （2）(26)2；

（3）(????2+2?)2； （4）81；
（5）-(?2)2； （6）4×10?2；
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解：原式＝12；
解：原式＝24；
解：原式＝9；
解：原式＝－2；
解：原式＝0.2.
解：原式＝a2＋2；
4.如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么a?b2+b2的值为多少？
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解：由数轴知a＜0＜b，且|a|＜|b|
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则a?b＜0
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∴a?b2+b2=|a?b|+|b|
?
=b?a+b
?
=2b?a

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