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19.2 二次根式的乘法与除法
课时3 最简二次根式
1.了解最简二次根式的概念.
2.能逆用二次根式的乘除运算法则化简二次根式，提升运算能力.
情境 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广，那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？
实际上，广播电视塔高度与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6 400 km. 如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是.
如何化简这个式子呢？
问题：观察各小题的最后结果，这些式子中的二次根式，有什么特点？
(1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
注意：有限小数可以化为分数，故最简二次根式的被开方数中不含有限小数.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
1.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，说明理由：
①； ② ； ③ ；
④ ； ⑤
∵a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2，
∴被开方数含有能开得尽平方的因式.
是
是
被开方数含有分母
被开方数含有能开得尽平方的因数4
解：(1)法1: = = = = = .
法2: = = = .
例 化简：(1)； (2) ； (3) . 　　
为了使分母中不含二次根式，利用分式的基本性质，进行分母有理化.
(2) = = = = = .
(3) = = =
方法一：先应用分数（式）的基本性质，把分母化成一个完全平方数（式），再逆用二次根式的除法法则.
方法二：先直接逆用二次根式的除法法则，把分子和分母分别化简，再应用分数（式）的基本性质，进行分母有理化.
分母中含有二次根式的式子的化简方法
2.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式.
(1) ； (2).
解：(1) 方法一
.
方法二
.
(2) 方法一 .
方法二
一分：将被开方数(或被开方数的分子、分母)分解因数(式).
二移：把能开得尽平方的因数(式)，利用公式= a(a≥0)移到根号外.
三化：化去被开方数中的分母.
四约：约分，化为最简二次根式.
将二次根式化成最简二次根式的一般步骤
现在来看导入中的问题.
问题1：如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是. 如何化简这个式子呢？
= = = = .
可以看出，这个比与地球半径无关. 这样，只要知道 h , h ，就可以求出比值.
问题2：广播电视塔高度与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？
假设广播电视塔高h增加到m倍，则此时的广播电视节目信号的传播半径
所以广播电视节目信号的传播半径r不会增加到相应的倍数.
条件：1.被开方数不含分母；
2.被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
化简步骤：
“一分”“二移”“三化”“四约”
最简二次根式
2.若　　　　　　都是最简二次根式，则a、b的值分别是( )
A. a＝1，b＝－2 B. a＝1，b＝1
C. a＝0，b＝1
D.
C
1.下列是最简二次根式是（ ）
B
A． B． C． D．
3.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式.
（1）； （2）； （3）(x ≥ 0).
解：（1）原式 = = ；
（2）原式 = = ；
（3）原式 = = .
4. 计算：
(1) ； (2)；
解：(1)
.
(2)
=
=
=
(3) .
解： (3) 法一：
=
=
= .
法二：
=
=
.

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