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20.1 勾股定理及其应用
课时1 勾股定理
学 习 目 标
1.理解勾股定理的推导过程，掌握勾股定理的数学表达形式（a2+b2=c2）.
2.能够运用勾股定理解决直角三角形中的边长计算问题.
?
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会会徽的图案．
提出问题：
(1)你见过这个图案吗？
(2)你听说过“勾股定理”吗？
在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
商高所指的面积关系可以用图形表示:
红色直角三角形的三边长分别为3，4，5
它们三边对应的正方形的面积分别为9、16、25
?
从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
9
?
16
?
25
?
3
?
4
?
5
?
探究1 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
A1
B1
C1
A3
B3
C3
A2
B2
C2
C?、C?、C?的面积该怎么求呢？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
A1
B1
C1
A3
B3
C3
A2
B2
C2
方法1：补形法(以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积)
SC?＝3×3－4×(????????×1×2)＝5
?
SC?＝5×5－4×(????????×2×3)＝13
?
SC?＝7×7－4×(????????×3×4)＝25
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
A1
B1
C1
A3
B3
C3
A2
B2
C2
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的直角三角形和正方形)
SC?＝1×1+4×(????????×1×2)＝5
?
SC?＝1×1+4×(????????×2×3)＝13
?
SC?＝1×1+4×(????????×3×4)＝25
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
1 4 5
SA? SB? SC?
4 9 13
SA? SB? SC?
+ ＝
+ ＝
+ ＝
+ ＝
9 16 25
SA? SB? SC?
+ ＝
+ ＝
A1
B1
C1
A3
B3
C3
A2
B2
C2
思考：类似的，任意作一个三角形，它们的三边也满足以上关系吗？
A4
C4
B4
SA4+SB4＝SC4
你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗?
{8799B23B-EC83-4686-B30A-512413B5E67A}A4的面积
B4的面积
C4的面积
9
25
34
那么该如何证明这个猜想呢？
下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2 + b2 ＝ c2.
B
A
C
a
b
c
如图是我国古代证明该猜想的“赵爽弦图”.
朱实
朱实
朱实
朱实
黄实
赵爽弦图
如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).
b
c
a
b
a
c
赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路：
a
把边长分别为a，b的两个正方形连在一起
?
其面积为a2+b2
?
这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形和一个正方形
将图中左、右两个三角形移到图中所示的位置
所得到的正方形的面积是c2
?
故a2+b2=c2
?
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2.
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
A
B
C
????
?
????
?
????
?
符号语言：
在Rt△ABC中，∠C=90?
?
则a2+b2=c2（a,b为直角边，c为斜边）
?
探究2 根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗?
解：大正方形的面积可以表示为c2，
∵c2＝4×????????ab+(b－a)2
?
＝2ab+b2－2ab+a2
＝a2+b2
∴c2＝a2+b2.
b
c
a
也可以表示为 .
4×????????ab+(b－a)2
?
【拓展】毕达哥拉斯证法
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：∵S大正方形= (a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形= 4S直角三角形+ S小正方形
=4×????????ab+c2
=c2+2ab，
?
例 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
所以DE=8.
?
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理
?
AB2=AC2+BC2=82+62=100，所以AB=10.
?
（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，
?
DE2+EF2=DF2，从而DE2=DF2?EF2=172?152=64
?
B
A
C
4
3
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当∠C＝90°时，AB为斜边，如图?，BC＝4?－3?＝7；
当∠A＝90°时，BC为斜边，如图?，BC＝4?+3?＝5.
?
图?
图?
B
C
A
4
3
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
证明
1.如图每个小正方形的边长均为1，其中点D与点P之间的距离为(　　)
A.17 B.10 C.25 D.13
?
D
2.如图，所有四边形都是正方形.
(1) S③ ＝ __________ .
(2) 请在图中找出若干图形，使得它们的面积之和恰好等于最大的正方形面积①.
S① － S④
①
②
③
⑦
④
⑤
⑥
⑧
⑨
⑩
解：① S③ + S④ ＝ S①
②S③ + S⑧ + S⑩ ＝ S①
③S⑦ + S⑨+ S④ ＝ S①
④ S⑦ + S⑨ + S⑧ + S⑩ ＝ S①
3.在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)已知AB=5，BC=4，求AC；
(2)已知BC=5，AC=7，求AB．
?
（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4
?
BC2+AC2=AB2可知
?
????????=????????2?????????2=52?42=3
?
∴AB=BC2+AC2=5+49=36．
?
（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=7
?
4.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为多少？
解：如图，∵∠ACB＋∠ECD＝90°，∠CED＋∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠CED，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴BC＝DE，
根据勾股定理，AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋DE2，
∴Sb＝Sa＋Sc＝3＋4＝5.
?
A
B
C
D
E

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