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(共21张PPT)
20.1 勾股定理及其应用
课时2 勾股定理的实际应用
学 习 目 标
1.能从实际情境中识别或构造直角三角形，建立已知边与未知边的数量关系.
2.经历 “实际问题 — 抽象直角三角形模型 — 运用定理求解 — 验证结果合理性” 的完整过程，体会建模思想与转化思想，提升数学抽象能力与逻辑推理能力.
爷爷家的老房子住了大半辈子，最近想要翻修，小安假期闲来无事，跟着爸爸回老家帮忙.院子里堆着些装修材料，爷爷正对着一堆装修材料发愁，看到小安来了直乐.
快来帮爷爷！
院子里堆着各种装修材料，其中有一块长3m、宽2.2m的长方形石材，用来装修如图1的电视背景墙.要把这块石材搬进屋里，得先通过入户大门.门洞尺寸如图2所示.爷爷看着门洞直犯愁.
这石材能从门洞过去不？
3m
2.2m
1m
2m
图1
图2
①木板横着通过时，最大宽度为 1m，木板宽 2.2m，不能通过；
1
1
②木板竖着通过时，最大高度为 2m，木板宽 2.2m，不能通过；
问题1 石材能横着通过入户大门吗？竖着呢？为什么？
1
连接门框的对角线，形成 ，其中直角边 ，，斜边 为对角线长度.
根据勾股定理，
则
因为 大于石材的宽 2.2m，所以石材能通过.
问题2 斜着通过时，石材能否从入户大门内通过？
为了防止水分渗透影响大理石的安装效果，要给墙面刷防潮涂料. 如图，爸爸拿起一架长2.5m的梯子AB斜靠在竖直的墙上，此时BO为. 刷完高处后，刷低一些的区域时，要把梯子底端沿地面向外移动 到D处，梯子的顶端A也下滑0.8m 吗
A
B
O
D
C
梯子长度 （梯子长度不变）
移动后，底端从 到
①求移动前顶端 到地面的高度
在 中，根据勾股定理，
则
②求移动后顶端 到地面的高度
在 中，根据勾股定理
则
D
D
③求顶端下滑的距离
故梯子顶端下滑的距离是 ，不是
结论：勾股定理中，直角边的变化量与斜边（梯子长度）无关.
装修完该给家里的楼梯铺防滑垫了.
A
B
C
如图是楼梯的示意图，楼梯的高AB为3m，斜面长AC为5m，楼梯宽为1.5m，防滑地毯50元/m ，一共需要花费多少钱？
宽
解：将楼梯表面向下平移和向右平移，则地毯的总长＝两直角边的和．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
BC2＝AC2－AB2＝52－32＝16，
BC＝4.
所以，所需地毯总长：3＋4＝7m.
因为楼梯宽1.5米，
所以，地毯的面积：1.5×7＝9.5 m ．
因此，一共需要花费：9.5×50＝475(元)．
A
B
C
宽
实际问题
数学模型
抽象
直角三角形
构造
运用定理
勾股定理
解决
利用勾股定理解决实际问题时，关键是分析实际情境，找出直角三角形（或构造直角三角形）.
勾股定理解决实际应用的一般步骤
某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
情境一：旗杆模型
求风筝的垂直高度.
除了以上实际问题，勾股定理还可用于解决一些生活常见的问题，如旗杆问题、大树折断问题、最短路径问题.
【分析】，利用勾股定理先求CD
解：由题意可得：，米，，，米，米，
米
米
即风筝的垂直高度为米.
8
17
1.5
如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离．
【分析】图中已有,利用勾股定理求未知边即可.
解：由题意得，
∴
∴
答：的距离为．
情境二：大树折断模型
如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程多少？
【分析】本题考查了平面展开最短路径问题. 用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.
解：如图，将台阶展开为平面图
则长为，宽为
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长
即．
情境三：最短路径
勾股定理的实际应用
确定直角三角形的已知边和未知边
分析实际情境，找出直角三角形
运用勾股定理列式求解
结合实际情境判断结果的合理性
C
1.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝(　　)
A．8 B．10
C．12　　 D．13
2.勾股定理在生活中有着极其广泛的应用．如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C距离地面80cm(即CE＝80cm)，将其展开至点B距离墙面160cm的位置时(即水平距离BD＝160cm)，AB＝200cm，则此时棚骨外端B离地面的垂直高度是(　　)cm
A．160cm B．170cm
C．180cm　　 D．190cm
A
3.如图，一圆柱体底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于多少？
解：如图所示，沿将圆柱侧面展开
由题意得，
线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程
在中，由勾股定理得
∴蚂蚁爬行的最短路程是
展开后的平面图形为矩形
4.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且AF⊥CF于点F，若CF＝8米，AF＝15米，AB＝9米，求男子向右移动的距离CE．
解：因为点A、B、F三点共线，
在Rt△CFA中，由勾股定理得：AC＝ ＝17，
因为BF＝AF－AB＝15－9＝6，
在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC＝ ＝10，
由题意得：AC＝BC＋CE，所以CE＝AC－BC＝17－10＝7，
因此小男孩需向右移动的距离为7米．

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