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20.1 勾股定理及其应用
课时3 利用勾股定理作图与计算
学 习 目 标
1.理解运用勾股定理证明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）”的逻辑思路.
2.掌握利用勾股定理构造直角三角形的方法，能作出长为无理数的线段，并在数轴上准确表示对应的无理数点.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．当时我们是通过动手操作探究得出的结论，并没有严格证明，能否利用勾股定理证明？
在前面的课程中，我们掌握了用勾股定理及其解决实际问题的一些方法技巧，你还记得勾股定理的具体内容吗？
探究 证明 “” 全等定理.
已知：如图，在中，
求证：
利用勾股定理推导第三边相等，再用“”判定全等.
证明思路：
证明：在中，∠C=∠C'=90°，
根据勾股定理，
，
又 ，
∴
将“”判定转化为“”判定，体现了转化的数学思想
我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示的点吗？
探究 利用勾股定理在数轴上表示无理数.
分析：长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.
O 1 2 3
B
A
l
C
1
1
1
思考 你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：如果一个三角形的斜边长为的话，问题就可迎刃而解了.
勾股定理
无理数无法在数轴上直接表示
都可直接在数轴上表示
试着在数轴上画出表示的点.
O 1 2 3
B
A
l
如图，O为数轴原点，
①在数轴上找出表示3的点A，则OA=3；
②过点A作直线 l 垂直于OA，在 l 上取点B，使AB=2；
③以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示的点.
C
2
类似地，利用勾股定理，可以画出长为，，，…的线段(如左图). 按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示，，，，，… 的点(如右图).
①把转化为，其中为正整数；
②在数轴上取原点，作线段 ；
③过作的垂线，在上取 ；
④以 为圆心，为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点即为表示的点
正整数方便在数轴上表示
在数轴上表示无理数
如图，点，在数轴上，其表示的实数分别为，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为多少？
解：点，在数轴上，其表示的实数分别为
∴
∵过点作，且
∴
∴
∴点表示的数为
情境一：网格问题
如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上. 则线段，的长度分别是多少？
解：由题意得，
，
故线段，的长度分别为，．
探究 合理地利用勾股定理，还能高效解决一些数形结合的计算问题.
情境二：勾股定理与数形结合
如图是“赵爽弦图”. 它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形.若，，则正方形的面积是多少？
解： ∵ ，
∴ 在中，由勾股定理得：
∴ ，
∴ 中间小正方形的面积为
解决“方格问题”或数形结合中相关线段、面积的计算.
在数轴上表示无理数，关键是将无理数转化为可直接在数轴上表示的整数
利用勾股定理作图或计算
1.如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(0，2)，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标在(　　)
A.﹣1与﹣2之间
B.﹣2与﹣3之间
C.﹣3与﹣4之间
D.﹣4与﹣5之间
A
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，将△ABC折叠，得到折痕DE，使顶点B的对应点B′恰好与点A重合，点C落在点F处，则AE的长为(　　)
A. B. C. D.
B
点拨：①在Rt△ABC中，由勾股定理求得BC＝3;
②由折叠的性质可知，∠C＝∠F＝90°，EC＝EF，AF＝BC＝3;
③设AE＝x，在Rt△AEF中，由勾股定理+解方程可求得AE.
3.如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点A表示的数是________.
4.在数轴上作出表示﹣的点.
解　∵==，
∴是以3，1为直角边的直角三角形斜边的长，如图.
5.如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为多少
解：由题可得
过点A作于点D
遮雨棚高度至少为：

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